Fischer Black

作者：石川

摘要：他是华尔街的第一个宽客，他的一生就是一部金融工程发展史。

0 引言

他是华尔街的第一个宽客；他的一生就是一部金融工程发展史；他将 CAPM 视作人生信条，一生在动态均衡下研究定价问题；以他名字命名的公式遍及资产定价，期权定价，固定收益衍生品定价，以及资产配置各个领域。由于英年早逝，他遗憾无缘诺贝尔奖，但他的名字被金融领域的所有人铭记。上面这段话是在我看完 Perry Mehrling 为 Fischer Black 写的传记 Fischer Black and the Revolutionary Idea of Finance 之后写下的感悟。

这本书以介绍 Fischer Black 为契机，生动的呈现出金融领域的各位大咖（Emanuel Derman、Eugene Fama、Michael Jensen、Harry Markowitz、Robert Merton、Paul Samuelson、William Sharpe、Jack Treynor……）之间的渊源以及他们各自精彩绝伦的理论发现；各学派（芝加哥、麻省理工、哈佛、斯坦福等）思想之间的区别；以及像富国银行、高盛集团这些巨头在金融工程发展初期就大胆尝试、勇于创新的魄力。

毫无疑问，这是一部描绘金融工程发展史的鸿篇巨作（花费 7 年完成）；而之所以能够如此，只因为 Fischer Black 在历史的洪流中留下了太过深刻的足迹，他的那些足迹涉及这些人、这些学校和这些机构。其实，我最初读这本书是在两年前，当时就对 Fischer Black 佩服的五体投地并成了他的脑残粉。最近又机缘巧合听到了 Fischer Black 的名字，便勾起了昔日的回忆，于是决定以这篇小文回顾下他对金融领域的贡献。

1 Black CAPM

说起 Black 最被人熟知的成就，那自然是大名鼎鼎的期权定价公式。然而，我会把关于期权定价的介绍放到下一节。本小节，让我们先来说说同样对市场影响深远的 Black CAPM。在上一节提到的 Black 传记一书的封皮上，页面上方的公式正是 Black CAPM。关于传统 CAPM，各位小伙伴都已经熟悉了，公众号之前的文章《CAPM 的一小段历史》也做过介绍。CAPM 中最大的假设之一是投资者可以按照无风险利率自由借贷。然而这个假设在现实中往往过于严苛。为此， Black (1972) 和 Black, Jensen and Scholes (1972) 舍弃了该假设并提出了另外一个版本的 CAPM，后被称作 Black CAPM。它在市场因子之外又加入了第二个因子，是一个两因子模型：

式中 E[R_z] 是第二个因子的预期收益率。由于该因子的系数是 1 - β_i，因而被称为 β 因子，其收益率 R_z 和市场组合的收益率 R_M 的协方差为零，即 cov(R_z, R_M) = 0。如果考察资产超额收益 E[R_i] - r_f 和其 β_i 的关系，则传统 CAPM 模型暗示这二者关系之间的斜率为市场组合的预期超额收益 E[R_M] - r_f。反观两因子的 Black CAPM 模型，随着 (1 - β_i)E[R_z] 这一项的加入且这一项的收益率和资产的 β_i 成反比，因此 Black CAPM 隐含的资产预期收益 E[R_i] 和 β_i 之间的关系相比传统 CAPM 模型则更加平坦，而这也恰恰更符合实证数据的结果。

上图是来自 A 股市场的实证。将股票按照其 β_i 的高低划分成十组，并统计每组的（月）预期收益率。不出意外，这十组的预期收益并没有像传统 CAPM 暗示的那样随 β_i 单调上升，而是更符合 Black CAPM 所反映的关系。由于更加符合实证数据，Black CAPM 比传统 CAPM 得到了更广泛的应用，也拉开了研究的大潮。后面的故事人们都知道了，在 Black CAPM 被提出的 40 年之后，Frazzini and Pedersen (2014) 在前人的基础上发表了著名的 Betting against beta（BAB）。他们指出在实际投资中，不同的投资者受到不同资金使用的限制。在这种背景下，为了追求更高的收益，一些投资者（特别是机构）会把有限的资金投资于高风险的投资品，比如高 β 的股票，这便造成了它们超额收益 α 的下降。BAB 的故事无需多表，感兴趣的小伙伴可参考《BAB vs BABAB》。

2 从 CAPM 到期权定价

1967 年 3 月下旬的某天，Fischer Black、Michael Jensen 和 William Sharpe 在芝加哥机场附近的一个小旅馆的房间里进行了一次颇有意义的会面。他们三人当初讨论的问题是共同基金的业绩评价问题，即研究主动基金经理能否战胜市场。对于 Black 来说，这是他和 CAPM 以及有效市场假说的第一次邂逅。也正是自那一天起，CAPM 思想开始令 Black 着迷。OK，铺垫完了，接下来让我们说说期权定价。Black 传记封皮下方的那个公式正是由 Black and Scholes (1973) 提出的期权定价公式。不过本小节关注的是 Black-Scholes 偏微分方程（PDE）：

上式中 r 为无风险收益率；V 和 S 分别为期权和股票的价格；股票价格 S 满足如下几何布朗运动（需要背景知识的小伙伴请参考《布朗运动、伊藤引理、BS 公式（前篇、后篇）》）：

在 Black and Scholes (1973) 这篇文章中，Black 在推导完 PDE 并给出期权定价公式后，也从 CAPM 出发推导出了上述 PDE，足见其对 CAPM 思想的执着。

如何推导呢？由于 V 是 S 的函数，由伊藤引理可知：

由于 S 满足几何布朗运动，将 dS 的表达式两边取平方、利用布朗运动二次变分性质 (dW)^2 = dt、最后略去高阶小量有：

将上式代入 dV 表达式的右侧得到下式（记该式为 *，下文还会用到）：

(*) 式两边同时除以 V：

在无穷小的时间间隔 dt 内，由定义可知，dV/V 是 dt 内期权的收益率，等于 (r_V)dt；同理，dS/S 是 dt 内股票的收益率，等于 (r_S)dt。将这二者替换上式中的 dV/V 以及 dS/S：

上式两边同时消去 dt，并同时和市场收益 r_M 计算协方差；需要注意的是，上式右侧第一项中的变量和偏导数在时刻 t 均是已知的，因此是一个常数，只有右侧第二项才是随机项。因此，求和 r_M 求协方差有：

显然，上式两边同时除以 var(r_M) 就可以得到喜闻乐见的 β 形式：

这正是 Black and Scholes (1973) 中的公式（15）：

接下来，对 V 应用 CAPM，该期权的预期收益率为：

将 dV/V = (r_V)dt 代入上式，并利用 β_V 和 β_S 之间的关系（记为 I 式）：

类似的，对股票 S 应用 CAPM 则有：

对 (*) 式两边取期望（该式右侧第一项为常数、期望就是它本身），并利用上述 E[dS] 的表达式可得（记为 II 式）：

至此，我们得到了两个 E[dV] 的表达式（I、II）。比较它们的右侧可知 (I) 的第二项和 (II) 的最后一项一样，可以抵消。在剩余项中都除以 dt，最后联立 (I) 和 (II) 相等得到：

这正是 Black-Scholes 偏微分方程。

3 Black-Litterman

Black 的思想之所以闪耀着不朽的光芒是因为他永远思考理论与实际如何联系；理论必须是为了解决实际的金融问题服务的。这也解释了为什么他会从 UChicago 和 MIT 离开，前往业界加盟高盛。在高盛，Black 和 Emanuel Derman 以及 William Toy 提出了关于短期利率的 Black-Derman-Toy 模型，可以用来对固定收益衍生品定价。当然，Black 在高盛的另一项研究成果则更被人们所熟知，那就是 Black-Litterman 资产配置模型（见《Black-Litterman 模型 —— 贝叶斯框架下的资产配置利器》）。

Black-Litterman 模型可以被视作是 Black 在探索一般均衡的实践中的一个小的里程碑。该模型在数学上的本质是一种贝叶斯收缩。它从市场的供需出发，认为投资品在整个市场中按其市值的占比体现了当前市场供需关系的均衡状态。投资品市值与市场总市值的比值就是该投资品在这个市场均衡组合中的权重。在这个基础上，该模型进一步假设各投资品在市场组合中的配置比例是由投资者追求效用的最大化所致，并由此反推出市场均衡状态下各投资品的收益率，把它作为预期收益率的先验。

另一方面，Black-Litterman 模型将新息定义为投资者对于投资品收益率相对强弱的主动判断（称为 views，即观点）。最后，在贝叶斯框架下，将先验和新息结合起来，就得到预期收益率的后验。将其代入到 mean-variance optimization（MVO）中就能求出最优的资产配置。Black-Litterman 资产配置模型解决了 MVO 模型在应用中的两个痛点：（1）投资品的期望收益率很难预测；（2）模型对输入参数太敏感，导致投资者无法理解模型给出的最佳投资组合中投资品的配置权重。Black-Litterman 模型从市场均衡配置出发，有效的结合了投资者对投资品的主动判断，求出的配置结果符合投资者的预期。在华尔街，Black-Litterman 模型在高盛以及其他金融机构都有着广泛的应用。

4 Noise

1985 年，Fischer Black 当选美国金融协会（AFA）主席。依照 AFA 目前的惯例，每位主席任期一年，且在卸任时发表主席演讲。而 Black 演讲的题目则是 Noise（Black 1986）。比起 Black CAPM、Black-Scholes 期权定价公式以及 Black-Litterman 资产定价模型，Noise 这篇演讲无疑更贴近我们每一个人。

金融市场的信噪比很低。大量的噪声包围着微弱的信号，使得从它们之中剥离出信号难上加难。在 Black 看来，噪声交易者的存在为市场提供了流动性，是市场充满活力的原因也是市场的必要组成部分。但另一方面，由于噪声交易者根据“噪声”而非“信息”来交易，因此资产的价格中同时反映出信息和噪声。Black 关于噪声交易者的观点与 Robert Shiller 一致。后者提出的噪声交易者模型则拉开了行为金融学的序幕。然而，与 Shiller 因这个观点而坚定的认为市场是非有效不同，Black 在演讲中抛出的观点则要温和一些。他认为在绝大多数情况下，价格以 2 为系数围绕着价值波动。这大概和他金融学术生涯早期受到源自芝加哥大学的有效市场假说的影响有关。

We might define an efficient market as one in which price is within a factor of 2 of value, i.e., the price is more than half of value and less than twice value. The factor of 2 is arbitrary, of course. Intuitively, though, it seems reasonable to me, in the light of sources of uncertainty about value and the strength of the forces tending to cause price to return to value. By this definition, I think almost all markets are efficient almost all of the time. "Almost all" means at least 90%.

在 Noise 这篇演讲中，给我留下印象最深刻的一句话是下面这句：

Noise causes markets to be somewhat inefficient, but often prevents us from taking advantage of inefficiencies.

这让我想起之前读到的 Statman (2018) 这篇题为 Behavioral Efficient Markets 的论文。该文曾获得 The 20th Annual Bernstein Fabozzi/Jacobs Levy Awards 最佳论文奖。它认为有效市场假说包括 price-equals-value market hypothesis 和 hard-to-beat market hypothesis 两层含义。这两层含义完美的对应着 Black 上面那句话的前、后半句。正如人们观察到的那样，在市场中，资产价格并不总是等于其内在价值（尽管内在价值是难以观测的），而是可以偏离价值。这意味着 price-equals-value market hypothesis 通常不成立，说明了市场在一定程度上是非有效的。而另一方面，市场又确实很难被战胜。从这个意义上说，hard-to-beat market hypothesis 是成立的。

5 遗憾

1959 年，Fischer Black 从 Harvard 本科毕业。在申请研究生时，他唯一感兴趣的方向其实是物理学。然而，在读了一年之后，他便被人工智能所吸引而更换了方向。但即便到此时，金融依然尚未和他产生交集。Black 的博士生涯颇具坎坷，但最终还是在几经波折之后于 1964 年获得 Harvard 应用数学的博士学位。从 Harvard 毕业之后，他加入了 Arthur D. Little 这个成立于 1886 年的、世界上最古老的管理咨询公司。而正是在 Arthur D. Little，他遇到了将其带入金融领域、也是后来对他的研究思想产生巨大影响的人 —— Jack Treynor。从此，Black 便在金融领域开启了开挂的人生……

1997 年，诺贝尔经济学奖授予了 Myron Scholes 和 Robert Merton，以表彰他们在期权定价上的发现。令人感到遗憾的是，由于 Black 英年早逝、加上诺奖不颁发给已故学者，因此他未能获奖。但诺奖委员会还是在当年的获奖公告中特地强调了 Fischer Black 所发挥的关键作用（以下为节选，公告全文中超过 10 次提及了 Fischer Black 的名字），以此表达对他的肯定。

尽管如此，还是有大佬对诺奖委员会表达了不满。Emanuel Derman 在 My life as a quant（宽客人生）中就表达了以下的观点。金融圈内所有人都认为期权定价公式获得诺奖只是早晚的事儿。而且，人们也知道 Black 于 1994 年不幸被诊断出致命的喉癌。因此，人们都迫切希望诺奖委员会能及时把经济学奖颁给期权定价公式，以免留下遗憾。然而，诺奖委员会似乎不愿意把诺贝尔奖颁给在业界工作的人，特别是一个来自投行的人。虽然这仅仅是猜测，但它还是令人唏嘘不已。

不过，学术界对业界的“不屑”可能也由来已久。Black 和 Scholes 早在 1970 年 11 月就将期权定价论文提交到 Journal of Political Economy，当时 Black 还在 Arthur D. Little 工作。由于文章在当初来看有些晦涩难懂，再加上第一作者来自一个咨询公司而非金融名校，该文在开始时反复被拒。所幸，最后“金子还是发光了”。该文被 Merton Miller（Eugene Fama 的导师）留意到，并一眼看出了它的重要性。在 Miller 的推荐下，该文最终被录用和发表。

1994 年，Fischer Black 被 IAFE 授予年度金融工程师称号（该奖项自 1993 年设立，第一个获奖者是 Robert Merton），以表彰他对金融工程实践应用方面的卓越贡献。毫无疑问，Fischer Black 的一生是传奇的一生，他也绝对无愧于华尔街第一宽客的头衔。他对均衡模型的毕生追求在金融领域创造了一个又一个经典，永远被后人铭记。最后，让我用 Black 自己的话来结束本文，并向他致敬。

I like the beauty and symmetry in Mr. Treynor's equilibrium models so much that I started designing them myself. I worked on models in several areas：Monetary theory, Business cycles, Options and warrants. For 20 years, I have been struggling to show people the beauty in these models to pass on knowledge I received from Mr. Treynor. In monetary theory —— the theory of how money is related to economic activity —— I am still struggling. In business cycle theory —— the theory of fluctuation in the economy —— I am still struggling. In options and warrants, though, people see the beauty.

世上再无 Black。

参考文献

Black, F. (1972). Capital market equilibrium with restricted borrowing. Journal of Business 45(3), 444 – 455.

Black, F. (1986). Noise. Journal of Finance 41(3), 528 – 543.

Black, F., M. C. Jensen, and M. Scholes (1972). The capital asset pricing model: Some empirical tests. In M. C. Jensen (Eds), Studies in the Theory of Capital Markets. New York, NY: Praeger.

Black, F. and R. Litterman (1992). Global portfolio optimization. Financial Analysts Journal 48(5), 28 – 43.

Black, F. and M. Scholes (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81(3), 637 – 645.

Frazzini, A. and L. H. Pedersen (2014). Betting against beta. Journal of Financial Economics 111(1), 1 – 25.

Statman, M. (2018). Behavioral efficient markets. The Journal of Portfolio Management 44(3), 76 – 87.

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