写给你的金融时间序列分析：补完篇

作者：石川

摘要：本文介绍时间序列分析中的 GARCH 模型，阐述使用 mean model 和 volatility model 对收益率序列联合建模的方法。

1 引言

两年前，我们推出了《写给你的金融时间序列分析》系列，通过四篇文章介绍了金融数据时序分析建模的基础知识。这四篇文章的内容分别为：

通过前述四篇文章的介绍可知，金融时间序列分析的核心是找到资产收益率序列的自相关性，并利用它。以 2012 年 1 月 1 日到 2019 年 7 月 31 日上证指数日频对数收益率为例，假设使用 ARMA(3, 2) 对其建模，并考察其残差。下图展示了残差时序以及它的 ACF 和 Partial ACF（PACF）。

从 ACF 和 PACF 上不难看出，在很多 lags 上，自相关系数是超过 95% 的置信区间的；而从最上面一副图中也能明显看出收益率序列的一大特征 —— 波动率聚类。如果把残差取平方，并再次作图，上述波动率聚类则会变得更加直观。它在数学上被称为条件异方差（conditional heteroskedasticity）。

上述结果意味着，仅使用 ARMA 对收益率序列建模是不够的，它对条件异方差无能为力。为了解决这个问题需要对波动率建模，即使用 Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity（GARCH）模型。不介绍 GARCH 的时间序列分析系列大抵是不完整的；此外也有小伙伴留言说能不能写写 GARCH。所以今天就来补作业了，也因此给这篇文章起了个“补完篇”的名字。

考虑到本系列前四篇“狠狠”的参考了 quantstart.com 上相关文章的“优良传统”，我在本文第 3 小节介绍 GARCH 的数学模型时也会再次借鉴（参考文献中有链接）。最后，再给 quantstart.com 打个 call（必须给足它 credits），它上面的所有文章都非常值得一读。下文以资产收益率序列作为研究对象，介绍相关概念：第 2 节解释模型的结构；第 3 节介绍 ARCH 和 GARCH 的数学背景知识；第 4 节说明如何使用 ARMA 和 GARCH 对收益率的条件均值和条件方差进行联合建模；第 5 节针对上证指数做简单实证；第 6 节总结全文。

2 模型的结构

首先来看看“条件异方差”一词。波动率聚类说明不同阶段收益率的方差是不同的，这就是异方差性（heteroskedastic）。而很多时候，资产收益率表现出高波动伴随着高波动时期（大牛市或者股灾的时候），而低波动又往往伴随着低波动，因此波动率之间是存在序列相关性的，这就是“条件”一词的来源。将二者结合就有了条件异方差。

使用 GARCH 建模，是为了在 r_t 的线性自相关性之上考虑其方差之间的相关性，即把均值模型和波动率模型放在一个整体框架中考虑（Tsay 2010）。假设 t – 1 时刻所有已知的信息为 F_{t-1}，则当给定 F_{t-1} 时，t 时刻收益率的条件均值和条件方差可写为：

对于条件均值 μ_t，它可以是一个常数，也可以使用我们已经掌握的 ARMA 模型对其建模。一旦有了 μ_t 的模型，r_t 可以写作：

上式中 ε_t 是 t 时刻的扰动或者新息。结合上式和条件方差的定义可知，t 时刻收益率 r_t 的条件方差由 ε_t 的方差决定：

从模型结构不难看出，为了考虑条件异方差则需要对 ε_t 建模，而这正是 GARCH 的目标。

3 ARCH 和 GARCH

在介绍 GARCH 之前不妨先来看看 ARCH，毕竟 GARCH 只是在它前面加了一个 G（generalized）从而将其推广了。ARCH 由 Engle (1982) 提出，它是第一个对波动率建模的系统性框架。对于 ε_t，考虑如下模型（其中 ω_t 表示均值为 0、方差为 1 的白噪声）：

把 σ_t 的表达式带回到 ε_t 中可得：

这个关于序列 {ε_t} 的模型称作一阶自回归条件异方差模型，也就是最简单的 ARCH(1) 过程 —— 括号里的系数 1 表明自回归模型中只考虑了 lag = 1 阶。为了直观看出方差序列之间的关系，将上式两边平方：

上式清晰的显示了 var(ε_t) 和 var(ε_{t-1}) 之间的关系。前面我们提到，{ε_t} 的模型是一个 ARCH(1) 过程。从 var(ε_t) 和 var(ε_{t-1}) 的关系可知，一个 ARCH(1) 过程的方差 —— 即 var(ε_t) —— 正是一个 AR(1)，即一阶自回归过程。接下来我们照猫画虎，将 ARCH(1) 简单推广到多阶 lags，就得到 ARCH(p) 过程：

类似的，我们可以说一个 ARCH(p) 过程的方差是一个 AR(p)，即 p 阶自回归过程；这相当于对方差使用 AR(p) 来建模。既然能对方差用 AR(p) 来建模，那么很自然的一个问题就是，为什么不把 MA(q) 也加上得到方差的 ARMA(p, q) 模型呢？如此便引出了 GARCH(p, q)。对于 ε_t，考虑如下模型：

这就是大名鼎鼎的 GARCH(p, q) 模型 —— (p, q) 阶的广义自回归条件异方差模型。有了 GARCH 我们就可以用它对收益率建模了。

4 使用 ARMA + GARCH 建模

本小节来看看如何在第二节介绍的体系下使用 ARMA(p, q) 和 GARCH(p', q') 来对 r_t 进行联合建模。为了区分条件均值模型和条件方差模型中的自回归阶数，我特意用了 (p, q) 和 (p', q') 表示。将前面的内容整合到一起得到关于 r_t 的模型如下：

当我们对 r_t 建模时，需要同时指定 mean model（对 μ_t 建模）以及 volatility model（对 ε_t 建模）。上式使用了 ARMA(p, q) 作为 mean model，但根据实际问题也可以使用更简单的模型，比如 μ_t = 常数；使用了 GARCH(p', q') 作为 volatility model。最后使用已有的数据对这两个模型的参数进行联合估计。在实际应用中，无论使用 python 还是 R 的相关 package，在调用时都要指定 mean model 和 volatility model。举个例子，在 quantstart.com 上一篇使用 ARMA 对 mean 建模、用 GARCH 对 volatility 建模来交易 S&P500 指数的例子中，作者对两个模型同时进行了设定。

在具体 GARCH 建模时可以遵如下步骤（Tsay 2010）：

以上五步构成了对条件均值和条件方差的联合建模，使用得到的模型就可以对未来的 r_t 以及 var(r_t) 进行预测。在离开本节之前，我们再来介绍两个使用 GARCH 建模时不十分正确的做法（希望能帮你排雷）。

错误做法一：用 ARMA(p, q) 的阶数作为 GARCH(p', q') 的阶数

网上一些资料中提过这样的做法：首先是用 ARMA 对 r_t 建模、确定最优的参数 p 和 q；然后将它们作为波动率模型的阶数，即 GARCH(p, q)，同时在联合建模时仅假设 mean model = constant。这种做法使用从 r_t 线性关系找到的 p 和 q 去对 r_t 的波动率的关系建模，然后又假设 mean model 是常数，着实令人费解。

错误做法二：将 mean model 和 volatility model 拆开估计

这种做法听上去更“靠谱”一些。首先是用 ARMA 对 r_t 建模，确定最优参数 p 和 q；然后使用 ARMA 模型的残差为被解释变量，对其进行 GARCH(p', q') 建模；第二步中因为被解释变量是残差，因此 GARCH 模型的 mean model = 0，即假设残差均值为零。这种做法看似合理，但是从条件均值角度来说，它也仅仅是利用了 ARMA 这一步（第二步的 GARCH 建模由于假设 mean model = 0 因此对条件均值不再有影响），而没有利用 ARMA + GARCH 的联合估计考察异方差对收益率序列的影响。通常来说，就 ARMA 的参数而言，仅使用 ARMA 和联合使用 ARMA + GARCH 的结果是有差异的。

举个例子：使用 AR(2) 和 AR(2) + GARCH(1, 1) 两种方法对收益率建模。

OK，回到例子。下表展示了两种方法建模时，AR(2) 的参数，可以看出它们之间的差异。

所以，GARCH 模型虽好，但是 use with care。我们应时刻搞清楚是在对什么建模、怎么建模，mean model 是什么、volatility model 又是什么。

5 简单实证

最后通过一个 toy example 来介绍 ARMA + GARCH 的应用。以下对上证指数自 2012 年 1 月到 2019 年 7 月的日频对数收益率进行时间序列建模，并使用该模型预测下一个交易的收益率。如果预测为正则选择持有上证指数，反之则空仓；假设以收盘价成交且不考虑任何交易成本。在构建策略时，采用长度为 T 的滚动窗口历史数据。首先是用 AR 对收益率建模（因为 python arch package 不支持 ARMA 作为 mean model，所以仅使用 AR(p) 模型），并根据 AIC 选择最优 p 值（p 取值范围为 0 到 5）；然后以该 AR(p) 作为 mean model，并使用 GARCH(1, 1) 模型为 volatility model，进行联合参数估计。使用最终的模型预测下一个交易日收益率。此外作为比较，我们也考虑仅采用 AR(p) 来对收益率建模，而不考虑条件异方差的影响。

首先来看 T = 60 个交易日的情况。下图展示了 AR 和 AR + GARCH 两种策略的净值和回撤曲线。就表现而言，它们均战胜了上证指数本身（benchmark）。但是在股灾之后（波动率变大了），这两种模型的表现发生了分化，就这个简单实证而言，AR 的效果比 AR + GARCH 更好。

再来看看把滚动窗口长度换到 T = 252 的情况。结果和上面接近，依然是 AR 战胜了 AR + GARCH 的组合。

从本小节的例子来看，加入了 GARCH 的策略似乎并没有仅使用 AR 的策略优异。我在最后的结语部分对此做简单评价。

6 结语

作为“补完篇”，本文填了《写给你的金融时间序列分析》最后一个大坑 —— GARCH；写作的重点在于阐述使用 mean model 和 volatility model 对收益率序列联合建模，以及在一个整合的框架下对两种模型的参数进行联合估计。本文的第 5 节给出了一个简单实证。因 python arch package 的功能所限，实证中的 mean model 仅采用了 AR 模型。感兴趣的小伙伴不妨尝试 R 的相关 packages。从实证结果来看，加入 GARCH 似乎没什么效果。但不要忘了，我们并没有对 GARCH 的参数进行任何优化，也没有额外利用其对波动率的建模来添加更加复杂的规则 —— 比如 volatility scaling。因此，仅仅基于这个简单的例子难以对 GARCH 的贡献做出任何正确的评判。

对于量化投资的研究来说，构建出策略并看到回测出来的净值曲线无疑是最令人激动的。然而，真正研究工作的核心却在于搞懂每个模型的原理以及它的作用，而这个过程注定是枯燥的。Quantstart Team 在其时间序列分析系列文章（以及其他系列）中不厌其烦的介绍每个基础模型，从简单到复杂，像搭积木一样为读者构建知识体系，令人敬佩。现在，我们有了时间序列分析的各个 building blocks。但是，能够用它们做什么、如何去更科学的对收益率分析、预测，还需有经验的积累。最后，我想以下面这段出自 Quantstart 的话作为本系列的结束，也希望与各位共勉。

True quantitative trading research is careful, measured and takes significant time to get right. There is no quick fix or "get rich scheme" in quant trading.

参考文献

Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica 50(4), 987 – 1008.

Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series (3rd ed). Wiley.

https://www.quantstart.com/articles/Generalised-Autoregressive-Conditional-Heteroskedasticity-GARCH-p-q-Models-for-Time-Series-Analysis

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