致敬 Stephen Ross：从 APT 到多因子模型

作者：石川

摘要：多因子模型是如今实证资产定价的最重要方法，并在投资实务中发挥了巨大的作用。而这一切都始于 Stephen Ross 发明的 APT。

0 传奇人生

如果要论对现代金融学（modern finance）的贡献，想必有很多耳熟能详的名字（比如之前介绍的 Eugene Fama），其中一个不得不提的人就是 Stephen Ross。Ross 对金融学的贡献主要体现在以下几个方面：agency problem（Ross 1973），arbitrage pricing theory（Ross 1976），binomial options pricing model（Cox, Ross, and Rubinstein 1979）以及 Cox-Ingersoll-Ross model（Cox, Ingersoll, and Ross 1985）。

Ross 出生并成长在马萨诸塞州的大 Boston 地区。不过有意思的是，年少的他非常向往加州的阳光沙滩，再加上 Caltech 招生组的卓越宣传工作，在步入大学时，他毫不犹豫的选择了 Caltech，不过本科阶段他攻读却是物理学。本科毕业后，Ross 考入 Harvard 攻读了经济学博士，之后便开始在 UPenn Wharton 商学院任教。最初，Ross 在经济学系任教。作为刚刚崭露头角的“菜鸟”教授，他最初向系里大佬询问参加研讨会的建议。在听了一圈建议后，他尝试性的选择参加金融学研讨会。也许是上天有意的安排，在该研讨会系列中，第一期演讲的嘉宾是 Richard Roll（Eugene Fama 的学生，同样也是金融学中非常重要的人物），而第二期的演讲嘉宾则是 Fischer Black（这就不用再多说了……）。

参加了两期研讨会之后，Ross 有两个非常强烈的感受：（1）Roll 和 Black 讲的东西让他如痴如醉（Roll 讲的 term structure of interest rate；Black 讲的是 BS 期权定价模型）；（2）Roll 和 Black 的高水平演讲给他造成“搞金融的学者的平均水平如此之高”的错觉。回顾这段往事，Ross 笑称由于 Roll 和 Black 给他造成的错觉，该学期后续的金融学研讨会带给他的是逐渐失望的体验。以上这段插曲无疑为 Ross 的金融学之旅增添了不少传奇色彩。从这之后，Ross 决定投身金融学，并做出了大量重要贡献。

在 Ross 的诸多贡献中，arbitrage pricing theory（APT）对实证资产定价有着非常重要的影响，正是它打开了通过多因子模型（multi-factor models）研究资产定价的大门。下文就以简要介绍 APT 为契机致敬 Stephen Ross。

人们可以通过三步理解如何从 APT 推出多因子模型，下面 1，2，3 节就分别阐述这三步。

1 Step One

第一步，假设资产的收益率满足如下的线性模型（为了简化讨论，首先讨论单因子的情况）：

其中 R_i 是资产收益率，μ_i 是资产 i 的预期收益率，β_i 是资产在因子上的暴露，f 是因子的取值（强调：f 并不是因子的 risk premium），最后 ε_i 是资产 i 收益率中的随机扰动（特质性收益率）。其中 f 和 ε_i 满足 E[f] = E[ε_i] = 0。如果写成向量形式，上式变为：

这就是 Ross 在 APT 中使用的收益率模型。

2 Step Two

第二步，构建一个 arbitrage portfolio。这个 arbitrage portfolio 中资产的权重 ω 满足下列特性。首先，该投资组合是零额投资的，即：

上式中 ι 是全 1 向量。同时考虑第一步中的资产收益率模型以及该权重，则该 arbitrage portfolio 的收益率（记为 R_a）为：

上式的最后一项为众多资产特质性收益率的加权平均。由 E[ε_i] = 0 和大数定律可知对于投资组合来说，这一项近似为零，因此投资组合的收益率由前两项决定。

接下来，再来看 arbitrage portfolio 权重 ω 需要满足的第二个特性，即：

这意味着选择 ω 使得该 arbitrage portfolio 在该因子上的暴露为零。将这个条件代入到投资组合收益率 R_a 的表达式中，并利用特质性部分近似为零的特性，对于这个特殊的 ω，R_a 的表达式化简为：

带着这个特殊的 arbitrage portfolio，我们进入第三步。

3 Step Three

第三步，运用无套利约束。对于第二步构造的特殊的 ω，它满足如下性质：（1）它是零额投资；（2）它对因子的暴露为零（因此该组合没有系统性风险）；（3）它没有特质性风险暴露（因为组合中特质性收益率为零）。换句话说，这样一个投资组合 ω 既没有资金投入又没有风险暴露，因此根据无套利约束条件，它的收益率必须为零：

紧接着问题来了，这到底意味着什么？我们可以从几何的角度来理解它。当我们构造 arbitrage portfolio 的时候，让其资产权重 ω 满足 ω’ι = 0 以及 ω’β = 0。从几何上说，两个向量的內积为零说明它们是相互垂直的。因此在 n 维空间内，ω 与 ι 以及 β 构成的平面垂直。接下来，最重要的一点：对于任意满足上述两个条件的 ω，由无套利约束条件可知 ω’μ 也必须等于 0，因此 ω 也和 μ 垂直。这意味着，μ 必然是在由 ι 和 β 构成的平面内。

在数学上，这意味着资产的预期收益率向量 μ 可以写成 ι 和 β 的线性加权：

上式对任意资产都成立。为了求解系数 γ_1 和 γ_2，不妨代入两个特殊的资产：无风险资产（收益率 R_f）和市场组合（预期收益率 μ_m）。由于无风险资产的因子暴露为零，因此通过上式可直接求出：

将 μ_m 和 γ_1 = R_f 代入，并利用市场组合 β = 1 可得：

因此有

将 γ_1 和 γ_2 带回到 μ 的方程易知：

眼熟不？这正是大名鼎鼎的 CAPM。公众号的老朋友可能记得，《CAPM 的一小段历史》介绍了 CAPM 被提出的那段艰辛岁月，而四个版本的 CAPM 模型因为假设的区别以及数学符号的差异让人最初对其望而却步。反观上述三步走，仅仅根据收益率线性模型的假设，并通过无套利约束，就非常优雅的得到了 CAPM。在这个基础上，我们可以很容易的把上式拓展到多个因子的情况，得到如今众人皆知的多因子模型：

其中 λ_k 为因子 k 的 risk premium，β_ik 是资产 i 在因子 k 上的暴露。以此为起点，学术界和业界在过去近 50 年内展开了轰轰烈烈的实证资产定价研究和因子投资实践。此外，多因子模型的表达式同样强调，只有那些影响众多资产收益率共同运动的风险，而非资产的特质性风险（即可以通过分散化规避掉的风险），才是预期收益率的来源。

Ross 功不可没。

4 结语

以上简要回顾了通过三步从 APT 到多因子模型的思路。事实上，在 Ross (1976) 这篇 APT 论文中，开篇就清晰地阐述了上述过程（Ross 1976 把上述过程分成了四步）。

而谈到本文的阐述，则必须要给另一个大佬足够的 credits。2017 年三月，在 Ross 去世之后，MIT 为了纪念 Ross 的贡献特地举办了研讨会（Ross 曾在 MIT 任教很长时间），并由众多大佬分别介绍了 Ross 在不同金融领域的贡献。其中介绍 APT 的则是罗闻全（Andrew Lo）教授。本文对 APT 介绍参考了罗教授报告的内容，特此说明。

对于实证资产定价来说，除了 APT，Ross 另一项广为人知并且即便到了今天还被广泛应用的方法则是 Gibbons, Ross, and Shanken (1989) 即 GRS test，它是检验多因子模型的重要方法，与 APT 一样，影响深远而持久。

以上仅从 APT 的视角一瞥了 Ross 对金融学的贡献。关于他的其他成就，AFA 的 Masters of Finance 系列有过更详细的介绍，感兴趣的小伙伴不妨找来看看。1988 年 Ross 出任了 AFA 主席，1996 年他获得 IAFE 的年度金融工程师称号。此外 Ross 还获得了 Smith Breeden Prize（2006）、Onassis Prize（2012）、AFA Award for Excellence in Finance（2014）以及 Deutsche Bank Prize（2015）等诸多奖项。

谨以此文致敬 Stephen Ross。

参考文献

Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). A theory of the term structure of interest rates. Econometrica 53(2), 365 – 407.

Cox, J. C., S. A. Ross, and M. Rubinstein (1979). Option pricing: A simplified approach. Journal of Financial Economics 7(3), 229 – 263.

Gibbons, M. R., S. A. Ross, and J. Shanken (1989). A test of the efficiency of a given portfolio. Econometrica 57(5), 1121 – 1152.

Ross, S. A. (1973). The economic theory of agency: The principal’s problem. American Economic Review 63(2), 134 – 139.

Ross, S. A. (1976). The arbitrage theory of capital asset pricing. Journal of Economic Theory 13(3), 341 – 360.

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