浅析资产配置的几种方法

作者：石川

摘要：使用任何一个资产配置模型，绝不是简单的把不能猜的参数忽略掉、把能猜的参数扔进去，而是要明白它到底配了什么。

1 引言

The most important key to successful investing can be summed up in just two words —— asset allocation.

不夸张的说，资产配置是投资中最关键的一环。无论我们有多少个收益源、多少因子，最终都要力争在最小化投资组合风险的前提下实现更高的收益。这正是资产配置（asset allocation）。谈到资产配置，最著名的要数 Mean-Variance Optimization（MVO）模型，它的数学表达式如下：

其中 ω 是资产权重向量、μ 和 Ω 分别为预期收益率向量以及协方差矩阵、δ 是风险厌恶系数。当不考虑任何约束是，上述 MVO 问题的最优解是：

如果考虑所有资产权重加起来占资金量 100%，即 Σω = 1，则可以将上述最优解中的等号换成“正比于”符号，它和最终的权重只差一个 scaling factor 而已：

对于权重为 ω 的投资组合，其夏普率为：

数学推导可以证明，最大化投资组合夏普率的 ω 也正比于 Ω^{-1}μ，因此 MVO 的最优解 ω_{mvo} 可以最大化投资组合的夏普率。这就是它吸引人的原因。当然，由于对输入（μ 和 Ω）非常敏感，且事前预测未来的 μ 和 Ω 异常困难（Ω 中包括资产自己的波动率 σ_i 以及资产间的相关系数 ρ_ij），MVO 在投资实务中也没少被人诟病。为了避免猜 μ 和 Ω 的问题，人们又相继提出了很多其他的资产配置方法，诸如：equal weight、minimum variance、maximum diversification 以及 risk parity（又称 equal risk contribution）。

在实际资产配置中，由于 μ_i、σ_i、ρ_ij 中的一个或多个难以预测，我们舍弃 MVO 并退而求其次选择上述这些方法之一。无论采取哪种方法，我们都希望最大化投资组合的夏普率。事实上，当 μ_i、σ_i、ρ_ij 这些参数满足特定条件时，所有上述方法均可以等价于 MVO。在资产配置时，我们可以对资产参数 μ_i、σ_i、ρ_ij 所满足的条件做适当的假设，从而选择最合适的配置方法。本文的目的就是梳理上述几种资产配置方法背后的数学模型，从而搞清楚它们分别在何种参数条件下等价于 MVO，并以此指导我们在投资实务中正确选择它们。最后想要说明的是，由于篇幅和我的知识有限，本文无法覆盖所有主流的资产配置模型。但是本文的思路可以用来分析其他方法。

2 数学描述

本文考虑的资产配置方法包括：Minimum Variance、Maximum Diversification、Risk Parity / Equal Risk Contribution 和 Equal Weight。以下逐一说明。Minimum Variance 方法的数学表达式为：

可以证明，它的最优解满足如下关系（Clarke, de Silva, and Thorley 2013）：

将其和 ω_{mvo} 比较不难发现，当所有资产的收益率 μ 相等时，minimum variance 方法等价于 MVO。接下来是 Maximum Diversification。它的数学表达式为：

其中 σ = [σ_1, σ_2, …, σ_N]' 表示 N 个资产标准差（波动率）的向量。该方法最大化资产线性加权波动率与投资组合波动率的比值，故称为最大分散化资产配置组合。它的最优解满足如下关系（Clarke, de Silva, and Thorley 2013）：

同样的，将其和 ω_{mvo} 比较发现，当所有资产的收益率 μ_i 和它们对应的波动率 σ_i 比值均相同（即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j）时，maximum diversification 方法等价于 MVO。再来看看 Risk Parity / Equal Risk Contribution。它要求每个资产对投资组合的风险等贡献，即：

其中 σ_p 代表投资组合的波动率。该条件可以转化为如下数学优化问题：

其中 (Ωω)_i 表示向量 Ωω 的第 i 行，即一个标量。Maillard, Roncalli, and Teïletche (2010) 一文对 Equal Risk Contribution（ERC）配置方法进行了非常详尽的数学论述，得出了很多有益的结论。其中，最重要的是，当所有 N 个资产两两相关系数相等（即所有 ρ_ij 都等于某常数 ρ）时，ERC 的最优解为：

除了 ERC 之外，另一个与其十分接近的配置方法是 equal risk budget（ERB）。根据定义，ERB 的最优解满足 ω_i = σ_i^{-1}/(Σ_jσ_j^{-1})。换句话说，当所有资产两两相关系数均相等时，ERC 和 ERB 一样。Carvalho, Lu, and Moulin (2012) 指出，当资产夏普率相同，且相关系数均相同时，ERB 等价于 MVO。由此可以推断出 ERC 等价于 MVO 的条件：所有资产的收益率 μ_i 和它们对应的波动率 σ_i 比值均相同（即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j，意味着夏普率相同）、且所有资产两两相关系数相同。

最后来看看 Equal Weight。这种等权方法没什么可优化的，其权重为：ω_{ew} = [1/N, …, 1/N]'，即每个资产占 1/N 的比例。当所有资产的波动率相同时，ω_{ew} 可以看成 ERB 的一种简单形式。由此可以推导出，equal weight 如果想等价于 MVO 则要求资产的 μ_i、σ_i、ρ_ij 满足以下三方面非常苛刻的条件：

下图对上述配置方法进行了总结。

下一节进行一些简单实验说明当参数满足不同条件时，这些方法的差异。

3 实证研究

从上节末的表格中不难看出，除了 minimum variance 之外，其他三种方法对参数的要求依次增强。因此，我们可以构建一系列实验，从最苛刻的条件开始，并逐一放松约束，以此观察这三种方法的配置结果和 MVO 配置结果的差异。（稍后会单独比较 minimum variance 和 MVO。）由于 equal weight 配置方法需要三个条件才等价于 MVO，因此下面一共考虑四个实验：

在这四个实验中比较 equal weight、equal risk contribution、maximum diversification 以及 MVO 四种方法。每个实验中假设有三个资产，作为实验输入给定它们的 μ_i、σ_i 以及 ρ_ij，并考察不同资产配置方法得到的最优配置权重（所有方法均需要满足约束 Σω = 1）以及夏普率。实验结果如下表所示。

随着参数满足的条件逐渐去除，equal weight、equal risk contribution 以及 maximum diversification 依次在与 MVO 的比较下败下阵来。上述结果说明，对参数（无论是 μ、σ 还是 ρ）的准确估计对资产配置结果是至关重要的；等权（或简单多样化）只是一种无法（准确）估计参数时的无奈之举。一旦有了任何关于 μ、σ、ρ 的（靠谱）信息都应该充分利用，并合理对未知参数可能满足的条件进行假设，从而选择最合适的资产配置方法。

最后下图展示了 minimum variance 和 MVO 的比较。由于两组实验中，只改变了 μ 的取值而协方差矩阵不变，因此 minimum variance 配置给出了相同的结果；但是仅当所有资产 μ 相同时，minimum variance 才等价于 MVO。

4 结语

写今天这篇文章源于我最近看了 Bender, Blackburn, and Sun (2019)。该文比较了不同的配置方法在构建因子投资组合时的效果（包括一些本文没有涉及的方法，见下表）。

对于 MVO，Bender, Blackburn, and Sun (2019) 的态度是，虽然输入的准确性至关重要，但我们也没有必要急于否定最优化在资产（因子）配置中的作用，因为其他方法都是在某种假设下对 MVO 的近似。资产配置有很多不同的方法。本文希望传达的态度是：无论选择哪种方法，都应该搞清楚其数学模型背后的对参数的假设是什么。搞清楚每个模型在什么情况下等价于 MVO 至关重要。使用一个模型，绝不是简单的把不能猜的参数忽略掉、把能猜的参数扔进去，而是要明白它到底配了什么。

参考文献

Bender, J., T. Blackburn, and X. Sun (2019). Clash of the titans: factor portfolios versus alternative weighting schemes. The Journal of Portfolio Management 45(3), 38 – 49.

Carvalho, R. L., X. Lu, and P. Moulin (2012). Demystifying equity risk-based strategies: a simple alpha plus beta description. The Journal of Portfolio Management 37(3), 56 – 70.

Clarke, R., H. de Silva, and S. Thorley (2013). Risk parity, maximum diversification, and minimum variance: an analytic perspective. The Journal of Portfolio Management 39(3), 39 – 53.

Maillard, S., T. Roncalli, and J. Teïletche (2010). The properties of equally weighted risk contribution portfolios. The Journal of Portfolio Management 36(4), 60 – 70.

免责声明：入市有风险，投资需谨慎。在任何情况下，本文的内容、信息及数据或所表述的意见并不构成对任何人的投资建议。在任何情况下，本文作者及所属机构不对任何人因使用本文的任何内容所引致的任何损失负任何责任。除特别说明外，文中图表均直接或间接来自于相应论文，仅为介绍之用，版权归原作者和期刊所有。