精选技术指标系列（3）：FRAMA
发布时间：2016-11-02 | 来源: 川总写量化
作者：石川
摘要：FRAMA 利用分形原理计算时间序列的统计相似性，从而确定平滑参数，是一个优秀的移动平均算法。
1 引言
本期精选技术指标系列的主角是分形自适应移动平均 FRactal Adaptive Moving Average，简称 FRAMA。它是一种高级移动均线算法。与上期的 HMA 一样，我们重点讲一讲 FRAMA 作为移动平均线的特点和优势；仅以两个非常简单的择时策略例子说明它在择时方面的作用，但并不对择时策略做过多的参数优化或分析。
2 含义和计算公式
顾名思义，分形自适应移动平均利用了投资品价格序列的分形特征（对于不熟悉分形的读者，请参考《分形市场假说》）。简单地说，FRAMA 是一个动态的指数移动平均。它的算法通过一个简单但有效的公式计算从当前时刻往前的长度为 2T 的时间窗口内时间序列的分形维数 D，并利用分形维数进一步求解指数移动平均的衰减参数 alpha。这使得 FRAMA 均线在保证移动平均线平滑的同时，大大降低了移动平均线的滞后性。（对于移动平均的详细介绍见《移动平均：你知道的与你不知道的》。）
分形维数描述时间序列的趋势，其取值在 1 到 2 之间，越大说明趋势越明显，越小说明时间序列越随机。通过连续的计算时间序列局部的分形维数，该算法根据时间序列自身的统计相似性特征，动态、自适应地计算平滑所用的参数。由于 alpha 是 D 的减函数，因此 D 越大（趋势越明显），alpha 越小，即指数平滑时对过去的数值衰减的越慢；D 越小（随机性越强），alpha 越大，即指数平滑时对过去的数值衰减的越快、对最新数据的变化越敏感。
具体的，对于当前时点 t 和给定的窗口 2T，该方法用到了三个时间窗口，即 t 到 t-T+1（记为窗口 W1，长度为 T），t-T 到 t-2T+1（记为窗口 W2，长度为 T），以及 t 到 t-2T+1（记为窗口 W，长度为 2T）。不难看出，W = W1 + W2。FRAMA 的计算过程如下：
1. 用窗口 W1 内的最高价和最低价计算 N1 = (最高价 – 最低价) / T；
2. 用窗口 W2 内的最高价和最低价计算 N2 = (最高价 – 最低价) / T；
3. 用窗口 T 内的最高价和最低价计算 N3 = (最高价 – 最低价) / (2T)；
4. 计算分形维数 D = [log(N1+N2) – log(N3)] / log(2)；
5. 计算指数移动平均的参数 alpha = exp(-4.6*(D-1))，并使其满足在 0.01 和 1 之间*；
* 随着 alpha 向 1 逼近，指数平滑的衰减加剧，造成移动平均的平滑度大幅下降。因此如果将 alpha 的上限定为 1 可能带来不必要的高频扰动。在实际使用时，可以根据希望达到的最低平滑度来调整 alpha 的上限。在本文后续例子和实验中，如无特殊声明，我们将 alpha 的上限设为 0.2。
6. 将 alpha 带入指数移动平均的公式求解 t 时刻的 FRAMA 移动平均值。
以上证指数周频交易数据为例，下图比较了计算窗口为 52 周时分形自适应移动平均和简单移动平均线（Simple Moving Average，或 SMA）的平滑效果。由于利用了时间序列自身的分形特征，FRAMA 均线对滞后性的提高非常明显，这意味着在价格趋势发生变化的时候它捕捉的更加及时。相比较而言，SMA 的滞后性相当显著。
如果想让 SMA 达到相同的滞后效果，就必须使用更短的窗口来计算（但更短的窗口会保留一定的高频误差）。下图为 52 周窗口计算的 FRAMA 和 8 周窗口计算的 SMA 的比较。在使用了更短的窗口之后，SMA 的滞后性大大减弱，效果和 FRAMA 相似，但同时 SMA 变的不够平滑、展现出了比 FRAMA 更大的波动。可见，SMA 减小滞后性是以牺牲移动均线的平滑性为前提的。
3 基于 FRAMA 的简单择时
由于移动均线捕捉低频趋势，因此我们可以基于此构建一个简单的择时策略：
当移动均线向上时，满仓
当移动均线向下时，空仓。
假设不考虑任何交易成本，我们比较52周时间窗口下用 FRAMA 和 SMA 两个移动均线算法得到的策略在上证指数的择时效果：
图中，蓝色为 FRAMA 择时净值，而绿色为 SMA 择时净值。（为了突出它们的差距，我们特意没有将纵坐标对数化。）在过去 15 年里，FRAMA 简单择时策略可以取得 16.1% 的年化收益；它的最大回撤为 32.3%，平均回撤为 13.6%；另一方面，因为计算均值的时间窗口较长（52 期），SMA 产生了巨大的滞后性，导致基于它的择时策略效果很差，其年化收益率仅为 7.4%，最大回撤达到 58.9%，平均回撤 32.1%。
我们减少计算 SMA 的时间窗口，以 8 周为窗口计算，从而降低它的滞后性，得到的净值和 52 期窗口的 FRAMA 净值比较如下：
在选择了短的时间窗口后，SMA 的滞后性大大降低，因此其净值大幅提高，达到了与 FRAMA 接近的收益率和回撤水平。在回测期内，基于 8 周窗口的 SMA 择时策略取得 15.9% 的年化收益率，最大回撤和平均回撤分别为 32.9% 和 12.7%。
本文的目的是为了说明 FRAMA 的原理和特点。我们不继续深入探讨基于 FRAMA 的择时策略。
4 结语
移动平均线是技术分析中一种分析股票价格时间序列的常用工具。移动平均可抚平短期波动（高频噪声），反映出中长期趋势，辅助投资者做出投资判断。FRAMA 是一个优秀的移动平均算法，它利用时间序列本身的分形特征，在保证均线平滑性的同时降低了移动平均的滞后性。这有助于投资者对趋势的变化做出及时的判断。
无论是什么技术指标，若想通过它持续地赚到钱，必须充分理解该指标的原理和它们反映的本质、并坚持使用它。对于任何指标，必须判断它是否适合我们面对的市场。通过严格的历史回测和分析，可以计算出技术指标的有效性。此外，随着市场自身内在的变化，回测中有效的技术指标也许会在将来的某一天失效。因此我们应用动态和发展的眼光看问题，不断的检验指标是否持续有效。
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