Harry Markowitz

作者：石川

摘要：谨以此文纪念 Harry Markowitz.

美国当地时间 2023 年 6 月 22 日，现代投资组合理论发明者、诺贝尔经济学奖获奖者 Harry Markowitz 去世，享年 95 岁。

不夸张地说，在上世纪 50 年代，Markowitz 的研究可谓从无到有，他以一己之力将数量化分析方法应用于金融市场，并开创性地提出现代投资组合理论（mean-variance 有效前沿），让人们对于金融市场的分析从 DCF 转向同时关注 return 和 risk。

直到今天，资产配置依然是投资中（最）重要的课题（之一）。而从事量化投资的小伙伴也无不对 mean-variance portfolio allocation 以及由此衍生出来的其他配置方法如数家珍（见《浅析资产配置的几种方法》）。

本文就来简要回顾一下 Markowitz 学术发现背后的心路历程。本文前半部分的历史叙述参考罗闻全教授的 In Pursuit of the Perfect Portfolio 一书中关于 Markowitz 的章节（Lo and Foerster 2021），第三节是我个人的思考。

1 命中注定

正如所有不凡人生都有一些传奇色彩，Markowitz 也不例外。

1950 年，就像所有迷茫的 Ph.D. candidates 一样，正在芝加哥大学攻读博士学位的 Markowitz 坐在他导师 Marschak 的办公室外，等待和他探讨博士论文选题。与此同时，同样等在门外的是一位股票经纪人。也许是为了打发时间，这个青涩的、投资经营为零的博士生和这位经纪人闲聊了起来。而正是这个契机改变了一切。当日稍晚的时候，Markowitz 对导师说“门外这个人建议我研究股票市场。您觉着如何？” Marschak 思考后告诉他这是一个值得尝试的方向。于是，这次阴差阳错的邂逅便拉开了 Markowitz 的研究之路，他致力于将数学和统计学方法应用于股票市场。

这便是第一个命中注定的时刻。然而，传奇色彩远不止于此。

在上世纪 50 年代，别说是金融学，就连定量研究在股票市场中几乎都是闻所未闻。因此，可供 Markowitz 参考的文献寥寥无几。彼时，经由导师牵线搭桥，时任商学院院长的 Marshall Ketchum 给 Markowitz 推荐了几本帮他了解股票投资的专著，其中包括 Graham 和 Dodd 的、如今家喻户晓的 Security Analysis。不过对 Markowitz 影响最大的则要数 John Burr Williams 的 The Theory of Investment Value。也正是它极大推动了 Markowitz 的研究。

1950 年的某天下午，当 Markowitz 在芝加哥大学商学院图书馆中啃着 Williams 的这本著作时，一丝灵光乍现诞生了。Markowitz 发现 Williams 的理论中忽视了股票收益率之间的相关性，此外该理论假设投资者只关心预期收益率而不关心风险。在这个假设下，投资者只需购买预期收益率最高的单支股票来构建投资组合即可，而不需要同时持有多支股票。

这样的推论让 Markowitz 十分不解，因为这和业界的共识不符。在 Ketchum 给 Markowitz 的资料中，还有一份来自 Wiesenberger 的 Survey，它显示投资者非常在乎多样化（diversification）并且通过买入公募基金来达到同时持有一揽子（而绝非单支）股票的目的。理论和实践的矛盾让 Markowitz 意识到，Williams 的理论中缺失了一个重要的因素，即投资者对投资组合整体风险的关注。

为了确定投资组合的风险，Markowitz 进一步意识到，Williams 忽视股票收益率之间的相关性也是错误的。因为股票的收益率之间是相关的，而非独立的。因此，仅仅知道单一股票的风险是不够的，而且还要知道它们的相关性。Markowitz 事后回忆道，这个想法是他学术生涯的第一个 aha moment。每当有人问他“你是否意识到这会为你带来诺贝尔奖”时，他总是回答说“当然不！但是我意识到这会给我带来一个博士学位。”

这便是第二个命中注定的时刻。

2 现代投资组合理论的诞生

由于良好的数学和统计学训练，通过标准差刻画单一股票风险，通过相关系数和标准差来计算投资组合的风险对于 Markowitz 似乎就是水到渠成一般。

在第二个命中注定时刻的那天下午，Markowitz 在草稿纸上画出了也许是世界上第一个 mean-variance 有效前沿。只不过当时他把预期收益率放在了横坐标，将风险放在了纵坐标，因此有效前沿如下图所示（摘自其 1952 年发表在 JF 上的文章），即对于给定的预期收益率，该组合风险最低；或者对于给定的风险，该组合的预期收益率最高。

1952 年，Markowitz 以 Portfolio Selection 为题将其研究成果发表在 Journal of Finance 上，这甚至比他获得博士学位还要早了两年。这篇文章通篇数学公式，并配合恰当的图例，这对于当年的 JF 来说，是十足的异类。然而在如今看来，正是它拉开了定量研究的序幕，Markowitz 也被称为现代投资组合之父。

不过有意思的是，无论是金融学的发端还是 Markowitz 的历史功绩背后，都不乏一些逸闻趣事，向世人传递着属于那个时代的温情。

在 Markowitz 博士论文答辩之前，他认为自己不会遇到什么麻烦。然而，在答辩仅仅进行了五分钟之后，Milton Friedman 便打断他说“Harry，你的论文不属于经济学范畴，我们不能给你经济学博士学位。”可以想象，在之后的一个半小时中，Markowitz 是在怎样的纠结中度过。不过最终的结果并没有像 Friedman 描述的那样“残酷”。在他答辩之后，学术委员会只进行了 5 分钟的讨论便达成了共识：“Congratulations Dr. Markowitz”。Friedman 后来告诉 Markowitz，就学术成果而言，他足以获得博士学位，只不过即使在 50 年后，Friedman 依然坚持自己的看法，即他的研究并不属于经济学。也许正是在那个时刻，作为新兴学科的金融学悄然发轫。

如今，提到现代投资组合理论，人们会首推 Markowitz (1952)；而 Markowitz 也被认为是现代投资组合理论之父。然而无巧不成书，似乎是注定再添加一笔传奇色彩，早在十二年前的 1940，现代投资组合理论的雏形就被一位意大利统计学家 de Finett 提出了。在其论文中，de Finetti 在保险精算问题中使用了 mean-variance analysis 但是并没有试图解决最优化问题。然而由于语言壁垒（论文是意大利语而非英语）以及研究的并非是金融投资问题，他的发现并没有得到足够的重视。此外，在 Markowitz (1952) 发表后三个月，来自英国的 A. D. Roy 在 Econometrica 上也发表了类似的发现。

Markowitz 在事后谈到这些早期或者同期的发现时表现的十分淡然（比如他用“De Finetti Scoops Markowitz”评价了 de Finetti 的文章）。也许和其他大佬一样，追求真相的快感远远高于个人所获得的荣誉。

3 未竟的事业

如今，mean-variance 投资组合理论历经了 70 余载，而资产配置也早已成为投资中最重要的课题。

现代投资组合理论虽然在数学上十分优雅，但是在实践中，由于需要估计的参数误差很大（包括预期收益率非常难以估计，且协方差的逆运算也有很多实操的坑），因此其在业界往往被吐槽。不过，质疑也好，吐槽也罢，本节还是让我们客观的来评价一下 mean-variance 最优化。

让我们从一个简单的实证说起。

我以 BetaPlus 小组针对 A 股市场构造的 Fama-French 五因子为待配置的标的（数据可在 www.factorwar.com 下载）。假设历史数据计算的  和  就是真实的  和  ，而下图中蓝线是根据该  和  计算而来的有效前沿。接下来，假设这五个组合的收益率满足 multivariate normal（参数为上述  和  ），并生成模拟样本。对于每次模拟，使用模拟样本计算  和  ，并使用它们计算投资组合的最优权重  。得到最优权重  之后，将其代入到真实的参数  和  中，便得到了图中的绿线（一共考虑了 50 组模拟，因此一共有 50 条绿色曲线）。

由于真实的参数是  和  ，而我们计算最优权重使用的是  和  ，因此每个模拟中的绿色有效前沿都要比蓝色曲线差。它们的差异表明了参数估计误差对实际投资组合的影响。这往往就是人们抱怨 mean-variance 最优化的原因。然而，另一个更重要的因素是，资产的预期收益率（以及协方差）不满足平稳性（e.g.，结构性变化）。和参数估计不准确相比（参数估计准确性可以通过更多的历史样本来提高），DGP 变化导致的参数变化对于 mean-variance 最优化在样本外的表现影响更大。

在 Markowitz (1952) 中，下面这两段话其实非常重要。Markowitz 在文章中将资产配置过程分为两个步骤，第一步是对  和  的估计，第二步才是构造 mean-variance 最优组合。尽管第一步不是他关注的，但下面这段话还是反映出他的观点，即仅仅使用历史数据来估计未来的  和  是不够的，而一些包含其他信息的 judgment 是必要的。

这自然而然的就让我想到了 Black-Litterman 这个贝叶斯框架下的资产配置利器。该模型从市场均衡状态出发确定预期收益率的先验，并结合投资者的主观判断（以此捕捉 DGP 的变化）形成预期收益率的后验。将其作为预期收益率的估计代入到 mean-variance 最优化问题中，往往能够获得比直接使用历史数据更好的结果。

此外，由于 mean-variance 最优化中协方差需要估计的参数太多，Markowitz 也尝试提出一种简化模型来实现 portfolio selection。而正是这个契机成就了 Sharpe 的研究，造就了后来家喻户晓的 CAPM。

另一方面，考虑到事前估计  和  十分困难，人们又通过合理假设来规避掉某些需要估计的参数，并相继提出了很多其他的资产配置方法，如 minimum variance、maximum diversification 以及 risk parity 等。这些模型均对实践中的资产配置产生了深远的影响，而它们都源自 Markowitz 的现代投资组合理论。

和那个年代的许多大师一样，Markowitz 作为奠基者之一见证了金融学从 0 到 1。而他也是当之无愧的现代投资组合理论之父。

谨以此文纪念 Harry Markowitz。

参考文献

Lo, A. W. and S. R. Foerster (2021). In Pursuit of the Perfect Portfolio: The Stories, Voices, and Key Insights of the Pioneers Who Shaped the Way We Invest. Princeton University Press.

Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. Journal of Finance 7(1), 77 – 91.

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