写给你的金融时间序列分析：预测篇

发布时间：2024-09-29 | 来源: 川总写量化

作者：石川

摘要：在金融市场中，时间序列分析建模的目标是进行预测，并基于预测做 informed decisions。本文介绍常见模型的多步预测。

1 Conditional Expectation

条件期望（conditional expectation）是预测中的一个重要工具。在 model specification 正确的前提下，条件期望代表了在已知 $X$ 的条件下 $Y$ 的最佳预测器，能有效最小化均方误差（MSE）。这种特性使得条件期望成为理解和应用预测模型的基石。

从直觉上说，如果模型能够准确反映变量间的真实关系、没有模型设定偏误问题，那么通过条件期望得出的预测将不仅是无偏的，也是效率最高的。这意味着任何预测误差都仅来源于随机噪声，而非模型结构的不足。因此，为了介绍不同时间序列模型的预测，让我们先从条件期望说起。

假设我们通过变量 $X$ 形成关于变量 $Y$ 的预测，记为 $\hat Y=f(X)$ 。可以证明，能够最小化 $\mathbb{E}[(Y-f(X))^2]$ 的预测为条件期望，即 $f=\mathbb{E}[Y|X]$ 。为了这一点，下面先来讨论条件期望的一些性质。

为此，将 $Y$ 分解为 $Y=\mathbb{E}[Y|X]+e$ ，其中 $e$ 为误差。对两边取期望可知 $e$ 的条件期望为零：

$\begin{array}{rll} \mathbb{E}[e|X]&=&\mathbb{E}[Y-\mathbb{E}[Y|X]|X]\\ &=&\mathbb{E}[Y|X]-\mathbb{E}[Y|X]\\ &=&0. \end{array}$

此外，利用 law of total expectation 可知， $e$ 的非条件期望也是零，即 $\mathbb{E}[e]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[e|X]]=0$ 。除此之外，还可以证明 $\mathbb{E}[Xe]=0$ ：

$\begin{array}{rll} \mathbb{E}[Xe]&=&\mathbb{E}[X(Y-\mathbb{E}[Y|X])]\\ &=&\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X\mathbb{E}[Y|X]]\\ &=&\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[XY]\\ &=&0. \end{array}$

事实上，对于 $X$ 的任何函数 $h(X)$ 均有：

$\begin{array}{rll} \mathbb{E}[h(X)e]&=&\mathbb{E}[h(X)(Y-\mathbb{E}[Y|X])]\\ &=&\mathbb{E}[h(X)Y]-\mathbb{E}[h(X)\mathbb{E}[Y|X]]\\ &=&\mathbb{E}[h(X)Y]-\mathbb{E}[h(X)Y]\\ &=&0. \end{array}$

上式对于后续证明 $\mathbb{E}[Y|X]$ 能够最小化 MSE 很重要。它的直觉解释是，条件期望具有“正交”性质，即误差 $e$ 与 $X$ 的任何函数不相关，即 $E[h(X)e] = 0$ 。这确保没有任何信息被遗漏，即预测误差 $e$ 中不包含关于 $X$ 的任何系统成分。

基于上述性质，可以进一步证明 $\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2]\le\mathbb{E}[(Y-f(X))^2]$ ，即在所有的 $f(X)$ 中， $f=\mathbb{E}[Y|X]$ 的 MSE 最低。为了说明这一点，对 $Y-f(X)$ 进行分解：

$\begin{array}{rll} \mathbb{E}[(Y-f(X))^2]&=&\mathbb{E}[((Y-\mathbb{E}[Y|X])+(\mathbb{E}[Y|X]-f(X)))^2]\\ &=&\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2\\ &&+2(Y-\mathbb{E}[Y|X])(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))\\ &&+(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))^2]\\ &=&\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2]\\ &&+2\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))]\\ &&+\mathbb{E}[(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))^2]. \end{array}$

利用之前探讨的 $h(X)$ 和 $e$ 的关系，上式中右侧的第二项为零：

$\mathbb{E}[\underbrace{(Y-\mathbb{E}[Y|X])}_{e}\underbrace{(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))}_{h(X)}]=0,$

所以 $\mathbb{E}[(Y-f(X))^2]$ 进一步化简为：

$\begin{array}{rll} \mathbb{E}[(Y-f(X))^2]&=&\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2]+0\\ &&+\mathbb{E}[(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))^2]\\ &=&\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2]\\ &&+\mathbb{E}[(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))^2]. \end{array}$

由于 $\mathbb{E}[(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))^2]\ge 0$ ，所以

$\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2]\le\mathbb{E}[(Y-f(X))^2]$ 。

利用条件期望，我们就可以使用各种时间序列模型进行预测。

2 AR Model Forecast

考虑时间序列 $\{r_t\}$ 。假设我们现在在time index $h$ ，我们要预测 $l\ge1$ time step ahead，其中 $h$ 又被称为预测起点， $l$ 被称为预测期限。令 $\mathcal{F}_h$ 表示截至 $h$ 时刻的所有历史信息，而 $\hat r_{h+l}$ 则表示预测量。则根据第一节的讨论可知，最佳的预测量为：

$\hat r_{h+l}=\mathbb{E}[r_{h+l}|\mathcal{F}_h].$

下面我们考虑 AR(p) 模型。首先从最简单的 1-step ahead forecast 说起。使用条件期望并利用 AR(p) 模型的定义，该预测为：

$\begin{array}{rll} \hat{r}_{h+1} &=& \mathbb{E}[r_{h+1} | \mathcal{F}_h] \\ &=& \alpha_0 + \alpha_1 r_h + \alpha_2 r_{h-1}\\ && + \cdots + \alpha_p r_{h+1-p}. \end{array}$

显然，在上式中，截至 $h$ 时刻，所有的历史序列都是已知的，因此期望就是历史已实现值本身。进一步考察 2-step ahead forecast。由模型可知，

$\begin{array}{rll} r_{h+2} &=& \alpha_0 + \alpha_1 r_{h+1} + \alpha_2 r_h \\ &&+ \cdots + \alpha_p r_{h+2-p} + w_{h+2}. \end{array}$

对两边同时取条件期望可得：

$\begin{array}{rll} \hat{r}_{h+2} &=& \mathbb{E}[r_{h+2} | \mathcal{F}_h]\\ & =& \alpha_0 + \alpha_1 \hat{r}_{h+1} + \alpha_2 r_h\\ && + \cdots + \alpha_p r_{h+2-p}. \end{array}$

在上式中，除了 $h+1$ 时刻的取值均是已发生的历史值；而 $h+1$ 时刻的条件期望 $\mathbb{E}[r_{h+1}|\mathcal{F}_h]$ 则恰恰就是 1-step ahead forecast $\hat{r}_{h+1}$ ，只需把它带入即可。这个例子也说明，为了预测 $h+2$ ，首先要得到 $h+1$ 的预测。

最终，我们可以将其拓展到 $l$ -step ahead forecast：

$\hat{r}_{h+l} = \alpha_0 + \sum_{i=1}^p \alpha_i \hat{r}_{h+l-i}.$

其中有一点 notation 需要注意的是，如果时刻 $h+l-i$ 已经发生（即 $l-i\le 0$ ），那么 $\hat{r}_{h+l-i} = r_{h+l-i}$ ；反之， $\hat{r}_{h+l-i}$ 表示该时刻模型的预测结果。换句话说，为了得到 $h+l$ 的预测，我们需要先求出前 $l-1$ 步预测；而如果 AR(p) 模型的阶数超过 $l$ ，那么还会额外用到一些历史数据。

3 MA Model Forecast

对于 MA 模型，我们如法炮制。

以最简单的 MA(1) 模型为例，即 $r_t=\mu+w_t+\beta_1 w_{t-1}$ ，它的 1-step ahead forecast 为：

$\hat r_{h+1}=\mathbb{E}[r_{h+1}|\mathcal{F}_h]=\mu+\beta_1w_{h}.$

上式中，在计算条件期望时，用到了 $\mathbb{E}[w_{h+1}|\mathcal{F}_h]= \mathbb{E}[w_{h+1}]=0$ 。类似的，2-step ahead forecast 为：

$\begin{array}{rll} \hat r_{h+2}&=&\mathbb{E}[r_{h+2}|\mathcal{F}_h]\\ &=&\mu+\mathbb{E}[w_{h+2}]+\mathbb{E}[\beta_1w_{h+1}]\\ &=&\mu. \end{array}$

值得一提的是，对于 MA(1) 而言，从 2-step ahead 开始，预测值就退化为该模型的非条件均值了。我们可以把上述结论拓展到 MA(q) 模型：对于 $l>q$ ，预测值为非条件均值。另外，将 AR 和 MA 合并，可以类似的推导 ARMA 的预测，本文不再赘述。

4 ARCH Model Forecast

我们再将目光转向方差模型，即 ARCH/GARCH。以 ARCH 为例，它的预测和 AR 模型非常类似。例如，ARCH(p) 模型的 1-step ahead forecast 预测为：

$\begin{array}{rll} \hat \sigma^2_{h+1}&=&\mathbb{E}[\sigma_{h+1}^2|\mathcal{F}_h]\\ &=&\alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{h}^2+\alpha_2 \epsilon_{h-1}^2\\ &&+\cdots+ \alpha_p \epsilon_{h+1-p}^2. \end{array}$

再看 2-step ahead forecast。利用 $\mathbb{E}[\epsilon_{h+1}^2|\mathcal{F}_h]= \hat\sigma^2_{h+1}$ 可得到：

$\begin{array}{rll} \hat \sigma^2_{h+2}&=&\alpha_0 + \alpha_1 \mathbb{E}[\epsilon_{h+1}^2|\mathcal{F}_h]+\alpha_2 \epsilon_{h}^2\\ &&+\cdots+ \alpha_p \epsilon_{h+2-p}^2\\ &=&\alpha_0 + \alpha_1 \hat\sigma^2_{h+1}+\alpha_2 \epsilon_{h}^2\\ &&+\cdots+ \alpha_p \epsilon_{h+2-p}^2. \end{array}$

最终，将上述过程拓展到 $l$ -step ahead forecast：

$\hat \sigma^2_{h+l}=\alpha_0 + \sum_{i=1}^p\alpha_i\hat \sigma^2_{h+l-i}.$

和 AR 模型一样，这里需要注意的是当 $l-1\le 0$ 时，表明 $h+l-i$ 已经发生，因此 $\hat \sigma^2_{h+l-i}=\epsilon_{h+l-i}$ ；反之则使用之前的预测值 $\hat \sigma^2_{h+l-i}$ 。

5 结语

Again, and again and again，本文是对《写给你的时间序列分析》系列的一个必要补充（这个系列原本只有 4 篇文章，到今天又补充了 3 次）。

本文首先讨论了条件期望的性质，然后基于条件期望给出了不同时间序列模型的预测公式。在回归分析中，无论是线性模型还是非线性模型，条件期望都代表了在给定 $X$ 条件下 $Y$ 的最佳预测器，能够最小化均方误差。然而，要使这个估计可靠，至关重要的是 model specification 正确。

当然，forecast 的核心是在 OOS 能够发挥作用。由于金融市场的信噪比极低，我们能够预测的部分和 $Y$ 本身的波动相比微乎其微（想想低的可怜的 R-squared）。若想要 forecast 真正发挥作用，需要对待分析的问题有深刻的理解，并密切关注模型在样本外的表现。通过持续的验证和调整，确保预测结果的稳健性和可靠性，让理论模型更具实际应用价值。

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