理解资产价格

石川   2019-10-25 本文章186阅读


站在巨人的肩膀上理解资产价格。


01

P = E[mx]


这一切始于 P = E[mx]。


假设 t 时刻,某资产 i 的价格是 P_{i, t};t + 1 时刻,资产处于某种资产状态 s,其发生的概率为 π_{t+1}(s),且在该状态下,资产的支付额和对应的折现因子分别为 x_{i, t+1}(s) 和 m_{t+1}(s)。由 absence of arbitrage opportunities(无套利)约束可知,P_{i, t} 满足以下关系(无套利意味着左右两端必须相等):



利用数学中的期望符号 E,可以把上式写成更加“喜闻乐见”的形式:



E_t 意味着在 t 时刻在状态变量 s 的概率空间求期望。这个公式称作 no-arbitrage pricing formula,它正是 asset pricing 的基础。其中的 m 被称作 stochastic discount factor


接下来的故事就从 P = E[mx] 讲起。一系列自然而然的问题包括什么驱动了资产的价格、资产的收益率可以预测吗?


02

短期不可预测性


首先来看短期的情况。


假设考虑两个非常近的时点。在这之间,无风险收益率近似为零,且因为时间很短,因而可以假设折现因子 m 在不同状态下的变化不大。在这些假设下,m 近似等于 1。进一步的,假设未来的支付等于出售该资产的价格,因此由 P = E[mx] 可知:



上式意味着短期内价格的上升或下降是随机的,收益率难以预测。在检验短期内能否预测方面,Eugene Fama 做出了重大的贡献,主要包括以下两个方面。


第一方面是对收益率序列的直接统计检验。虽然在 Fama 之前,有诸如 Samuelson (1965) 和 Mandelbrot (1966) 这样的开创性研究,但 Fama 无疑是系统性研究收益率统计特性的第一人 —— 他在其 1963 年的博士论文(后于 1965 年全文发表在 Journal of Business 上,见 Fama 1965)中使用序列相关性检验、游程检验(runs test)以及过滤准则检验(filter test,即使用特定的规则对收益率序列过滤,然后考察其是否能战胜买入持有)检验了短期收益率无法预测,该研究对后续的相关研究产生了巨大的影响。在收益率的不可预测下,efficient market 这个概念也应运而生。


Fama 对于市场有效性的最大贡献来自 Fama (1970) 提出的 joint hypothesis(联合假说)问题。所谓  joint hypothesis  问题指的是为了检验市场有效性,首先要有一个合理的 asset pricing 模型。只有知道了 asset pricing 模型给出的均衡状态下资产的预期收益率,才有可能正确的检验市场是否有效。此外,Fama (1970) 还对有效市场假说的三种形式,即 weak、semi-strong、strong 进行了讨论。


Fama 的第二个贡献是首次提出了 event study 的方法(Fama, Fisher, Jensen, and Roll 1969,下称 FFJR)。FFRJ 是事件分析的开山鼻祖。事件分析的对象是和资产价格相关的新息(事件)发生前后,资产的价格会有怎样的行为。FFJR 为此提出了开创新的方法论,主要包括三个方面:


1. 将市场的收益率从个股的收益率中排除,将个股特异收益率作为研究重点,从而剔除市场时序波动的影响。


2. 在时间轴上,将事件发生的时刻记为 time 0;事件发生之前在 0 的左侧、事件发生之后则在 0 的右侧。考察股票特异收益率在事件发生前、发生时、以及发生后的变化。


3. 这一点大概是最具创新的一点:任何事件在个股上是否发生以及发生的时间都是不同的,而由于上述第二步时间轴上的统一处理,我们就可以把所有个股的同类事件在截面上平均起来考察整体的效果。这会消除个股对事件的特异波动,从而考察事件对于股票特异收益率的平均影响效果。


FFJR 的研究发现,股票的 abnormal return 在事件发生后没有任何异常回报(下图),事件所包含的信息已经很好的反映在价格之中,从而证明了市场的有效性。而以上方法论中的三点创新也迅速开辟了一个子领域。如今,事件分析在经济和金融领域都有广泛的应用。



An event study arguably offers the cleanest way of testing for whether new information is incorporated fully in prices, without generating predictable price movements.


根据以上关于有效市场假说和事件分析的研究结果,人们对资产价格和收益率在短期内的不可预测性达成了共识。这是上世纪 70 年代,人们对于资产价格理解迈出的第一步。


03

过度波动导致长期可预测


下面来看看资产价格和收益率在更长的时间周期下能否被预测。这是上世纪 80 年代的主要研究课题之一。而在这一领域的代表性人物则是 Robert Shiller,他做出了大量开创性的贡献。


Shiller 的第一个贡献在于提出了 variance ratio tests。Shiller (1979, 1981) 分别以债券和股票作为资产,研究了它们短期波动和长期波动的方差差异。以股票为例,在 1980 年以前,学者们倾向认为股票的长期波动取决于和未来现金流相关的基本面信息的波动,直到 Shiller (1981) 发表,这个观点也因检验结果而被颠覆;而 Shiller (1981) 一文的题目也和它的内容一样具有颠覆性:Do stock prices move too much to be justified by subsequent changes in dividends?


我们仍然可以从 P = E[mx] 出发理解 Shiller 的发现。以股票为例,该定价方程意味着股票今天的价格等于其预期基本面价格的现值,即未来所有期现金流(对于股票,可以认为是股息)的折现值之和。令 P*_{i, t} 代表这个股票 i 的未知基本面价值的折现值,它的变化来自未来股息(x)和折现因子(m)的波动。由 P = E[mx] 有:



由上式可知,预测误差为 P_{i, t} – P*_{i, t},而该误差应该和所有历史信息(包括现在的价格 P_{i, t})是不相关的。接下来,我们可以把 P*_{i, t} 写成如下的形式(左右两侧完全是等价的):



利用误差项 P_{i, t} – P*_{i, t} 和所有历史信息(包括 P_{i, t})独立这个性质,对上式两边直接求方差可得:



由于方差一定是非负的,上式意味着基本面价值的波动应该大于价格本身的波动:



当资产为股票时,这表示股票价格的波动应该小于未来股息现值和的波动。但事实是否是如此呢?Shiller (1981) 回答了这个问题,并发现了和模型完全相反的结论:价格的方差比未来股息折现值之和的方差要大得多。下图显示了 Shiller 的分析结果。其中价格均做了 detrend 处理,从而方便我们更好的观察波动本身。在两张图中,实线分别代表价格的波动,而虚线代表以股息折现和的波动。Shiller 的研究也带动了一系列 variance bounds tests 的研究(代表文献见 Lo 2007 中的 Volume III、Part I)。



Shiller 的研究表明,股票和债券的短期波动比其长期波动更加剧烈,说明长期的价格呈现均值回复的特征,因此长期来看这些资产的收益是可以被预测的 —— 高于平均的收益之后往往伴随着低于平均水平的收益。这是在 Fama 于上世纪 70 年代的重要发现后,人们对于资产价格理解迈出的又一步。


在 Shiller (1981) 之后,学术界关于资产的长期可预测性做出了大量的研究。比如,Campbell and Shiller (1988) 发现实际盈利的长期均值能很好的预测未来的股息率,且该变量和当前价格的比值可以很好的预测未来的价格。Fama and French (1988) 发现随着时间尺度的增加,dividend yield 对于收益率的预测能力也逐渐提高(更高的时序 R-squared,下图),这也和“收益率在短期内难以预测,在长期内可以预测”这个观点相一致。短期的高波动是资产价格在长时间尺度下可预测性的前提。



让我们回到 P = E[mx]。


Shiller 等人的研究表示,既然 P 的波动比 x 的波动更高,那么如果 P = E[mx],即无套利定价公式,仍然成立,那么 P 的高波动只能是来自折现因子 m 的高波动。因此,接下来学者们急需回答的问题就是:是什么导致了 m 的高波动?来自经济学的理论模型是否支持 m 的高波动?


04

理性 CCAPM 模型


如果想从经济学理论出发来解释 m 的高波动,那么就需要把资产的价格和人们的储蓄和风险决策(投资风险资产)相联系起来。在这方面,当仁不让的选择是 consumption-based CAPM —— CCAPM它允许投资者的风险偏好(即随机折现因子)随时间变化,背后的原因可能是消费或者财富的冲击。在 CCAPM 中,消费者的决策目标是预期效用的最大化:



上式中,β 表示一个主观系数、u 是效用函数、c_{t+j} 表示 t + j 期的消费。CCAPM 假设投资人每一期购买一定量的风险资产(价格为 P),并通过最大化上述目标函数来确定最优的购买量。根据目标函数的一阶条件可以获得如下关系(具体推导可参考 Cochrane 2005):



上式中左侧是在 t 时刻消费一个单位能够获得的边际效用;右侧是将该单位进行投资(于风险资产)并在 t + 1 时刻获得 x_{i, t+1}/P_{i, t} 的回报并将其折现之后的边际效用。根据一阶条件,这二者应该相等,故得到上式。将其进行简单变化可得:



上式正是 CCAPM 下的资产定价方程。将它和 P = E[mx] 比较不难发现,在这个理论下随机折现因子满足:



CCAPM 指出 m 和当期消费还是下期消费的边际效用之比有关。从经济理论出发,这个表达式解释了为什么在经济衰退时,折现因子比较低:当经济不景气时,c_t 较低、边际效用 u'(c_t) 较高,因此边际效用比 u'(c_{t+1}/u'(c_t) 较低;反之,当经济繁荣时,折现因子 m 应较高。


OK,模型有了。回顾一下模型是要干什么:CCAPM 模型是试图搞清楚随机折现因子 m 如此高波动背后的原因。因此接下来就是用数据来对模型进行参数估计,从而检验这个理论是否成立。


但是在当时,人们突然发现,不会了!


在 CCAPM 中,模型是变量的非线性方程;此外,需要为消费确定一个完整的随机过程模型;最后,在这个动态系统中,误差项的时序相关性也让使用正式的统计方法难上加难。


面对这些难以逾越的困难,当时的两种妥协包括:(1)使用 calibration(校准)和非正式统计;(2)在模型之外强行加入一系列非常具体的假设 —— 哪怕有些假设和被处理的问题毫不相关 —— 从而把非线性的 CCAPM 线性化处理。在第一种方法的努力中,Grossman and Shiller (1981) 是定量检验 CCAPM 的始作俑者。在使用了美国消费数据后,他们发现只有当消费的边际效用对消费变化极度敏感,即投资者表现出极度的风险厌恶时,股票价格的波动才能符合 CCAPM 模型。换句话说,在合理的假设下,CCAPM 只能被拒绝。


当然,使用校准多少差点意思。而使用具体假设后的线性化也没强到哪里去 —— CCAPM 依然被拒绝。而因为各种具体的假设也多少让问题变得更加复杂:人们无法确定 CCAPM 被拒绝本身是因为理论存在固有的局限,还是为线性化处理 CCAPM 而做的各种假设不够合理。显然在上世纪 80 年代,人们急需计量经济学理论的突破,让正式检验 CCAPM 成为可能。


就在这个时候,Lars Peter HansenGeneralized Method of Moments(GMM,Hansen 1982)横空出世。


为简化表达式,令 R_{i, t+1} = x_{i, t+1} / P_{i, t},即 R 是 t 到 t + 1 的 gross return。利用 R 对 CCAPM 定价公式变形并利用误差项和历史数据(比如过去的价格或者收益率,历史数据用工具变量 z_{j, t} 表示)之间的独立性可得如下关系式:



上面这个从 CCAPM 定价公式得到的矩条件(moment condition)正是 GMM 的研究对象;上式可以看成是以下向量方程的一个分量:



其中向量 x_t 表示一个随机过程、θ 表示带估计的参数、g 表示一系列正交条件。在我们的例子中,x_t 由 c、R 以及 z 组成,θ 由 β 以及 u 中的其他参数组成,而 g 的第 (i, j) 个条件是:



GMM estimator 可以使用样本数据的矩条件来定义;GMM 可以用来进行参数估计和假设检验。Hansen (1982) 对 GMM 估计以及它的各种特性进行了详尽的描述。而 GMM 之所以如此强大的原因是它对随机过程 x_t 的限制非常少(只需要满足弱平稳和各态历经性),此外它对于 g 的限制也非常少(可以是非线性的)。这种强大的特征对于处理经济学的面板数据至关重要。在资产定价中,随机过程的残差是相关的,且主要关系也是非线性的。正因为如此“好使”,Hansen (1982) 成为了计量经济学领域最具影响力的论文之一。此外,Hansen 在提出 GMM 之后又对其进行了一系列必要的扩展,包括 alternative GMM estimators(Hansen, Heaton, and Yaron 1996)、工具变量选择(Hansen 1985)、连续时间模型(Hansen and Scheinkman 1995)以及非最优权重矩阵下的 GMM(Hansen and Jagannathan 1997)等。


有了 GMM,学术界终于可以一展身手,检验 CCAPM 了;GMM 首次被应用于资产定价正是出自 Hansen and Singleton (1982),而他们的结论是 CCAPM 再次被拒绝了 —— 根据 CCAPM 理论、从数据估计出的时变折现因子 m 也根本无法解释资产价格的高波动。在 GMM 被推出之前,如果学术界对 CCAPM 被拒绝还心存幻想,那么这次 CCAPM 可以说是彻底被打败了。


让上述结果雪上加霜的是,Hansen and Jagannathan (1991) 为随机折现因子 m 的波动计算出了一个下界 —— 它和资产的夏普率有关。以美国股市的数据来计算,m 波动的下界应该在 0.5 左右。从消费的实际数据来看,消费的波动是很低的。因此如果 CCAPM 能够解释随机折现因子 m 的波动,那么需要投资者具有不切实际的风险厌恶水平,否则就难以支撑 m 高达 0.5 的波动。


尽管 CCAPM 遭到了拒绝,但学术界似乎不想轻易放弃它,而是努力的对理论进行“完善”,包括提出不同形式的效用函数、以及考虑不同投资者偏好的差异等。归根到底,是学术界不想放弃理性行为这个假设。而就在这个时期,考虑投资者非理性的行为金融学也悄然萌芽。


05

行为金融学


如果要问谁是行为金融学的代表人物,得到的答案可能是 Amos Tversky 和 Daniel Kahneman。这两位的地位和贡献无需多言,但他们更多的还是从心理学的角度分析人如何做决策;另外可能的答案是 Richard Thaler,但 Thaler 更大的贡献是行为经济学(他获得诺奖也是因为在行为经济学上的贡献而非行为金融学)。


行为金融学的代表人物当属 Robert Shiller,而奠定其地位的正是 Shiller (1984) 这篇提出了噪音交易者模型的论文。这篇论文成为了日后日益增长的行为金融学文献的起点。在 Shiller (1984) 的模型中,聪明投资者依基本面价值进行投资;而噪音交易者的存在造成了价格和内在价值出现了偏离;价格的过度波动来源于人们非理性行为造成的对基本面信息的过度反应。反观聪明交易者,虽然能对预期回报做出理性反映,但这种反映因受到自身财富的限制而并不充分。


自 Shiller (1984) 发表之后,大量相关的研究结果被提出,这其中有很多是从行为偏差的角度来修正 CCAPM 中理性偏好的假设,这无疑有着非凡的意义,它意味着基于理性和行为的模型正在结合。另一方面,更多的学者开始用心理学的发现来研究个人的行为和偏误,这些心理学发现包括 prospect theory、overconfidence 以及 mental accounting 等。


关于行为金融学如何影响资产价格的综述,感兴趣的小伙伴可参考《资产价格和交易量背后的行为金融学》。很多从行为金融学出发的新的定价模型被研究出来,它们对解释股票市场价格和交易量的高波动,以及价格在不同尺度下表现出的异象(比如长期的反转)给出了令人信服的解释。



Shiller (1984) 的另一个功绩是回应了长久以来“理性投资者”派对行为金融学的最大质疑 —— 如果价格偏离了价值,即能被预测,为什么没有因套利而消失?Shiller (1984) 提出了 limits to arbitrage(有限套利),排除了这个阻碍行为金融学发展的障碍。


在行为金融学的进一步发展中,大量的研究表明资产的价格和投资人非理性的情绪有密切的关系(比如泡沫)。这里面家喻户晓的例子包括金融市场的同质标的(例如同一个公司在不同市场上交易)不满足“一价定理”以及“封闭基金之谜”等。在这方面的更多证据可以参考 Shiller 的著作《非理性繁荣》(Shiller 2000)。


06

预期收益率截面差异


到目前为止,我们对于资产价格的理解仍然停留在时间序列层面。一个自然的问题是:是什么决定了资产价格的截面差异?例如,为什么在同一时点,某只股票的价值比另一只更高呢?根据 P = E[mx],价值取决于未来的现金流和折现因子的变化。那么,哪些因素决定了资产不同的现金流以及投资者对于不同资产的时间偏好和风险偏好呢?


关于资产收益截面差异的研究,首先进入我们脑海中的名字恐怕仍然非 Eugene Fama 莫属。


以股票为例,50 年前关于其截面收益差异的第一范式无疑是 CAPM。在最初关于 CAPM 的检验中,最著名的两篇论文当属 Black, Jensen and Scholes (1972) 以及 Fama and MacBeth (1973)。Fama and MacBeth (1973) 开创性的在每个时间节点逐一进行截面回归,从而规避了残差收益率的截面相关性对回归结果的影响。这篇文章提出的“先回归、再均值”的方法,即 Fama-MacBeth regression,在后来得到了非常广泛的应用。


虽然最初的检验结果大体上支持 CAPM,但是到了上世纪 70 年代,很多 CAPM 无法解释的异象被提出。这些单一异象虽然都挑战着 CAPM,但它们并没有形成合力,所以人们并未对 CAPM 产生太大的质疑,直到 Fama and French (1992) 整合了之前被提出的多种异象,从而给了 CAPM 致命一击。


为了摒弃一个旧模型,唯有提出一个更好的新模型,而这个更好的模型就是 Fama and French (1993) 三因子模型。该模型在市场 β 的基础上加入了 HML 和 SMB 两个因子。Fama and French (1996) 指出三因子模型是 Merton (1973) ICAPM 的多因子版本,并认为 Size 和 Value 和公司的财务困境风险有关。但是,关于这二者代表何种 state variables 以及为什么它们能够捕捉市场 β 无法解释的风险依旧没有定论。


对于 value premium,风险解释的对立面是来自行为金融学的解释。这方面的代表论文要数 DeBondt and Thaler (1987) 以及 Lakonishok, Shleifer, and Vishny (1994)。他们认为投资者在市场好(差)的时候会对成长股(价值股)过度反应。当随后价格被修正时,前者的收益率就会降低,而后者的收益率会上升,造成 value premium。不过 Fama 认为这并不能解释 value 持续存在的原因,除非投资者从来不从他们的过错中学到什么。


Fama and French (1993) 拉开了使用多因子进行 empirical asset pricing 研究的序幕。这个三因子模型也一度成为股票定价中最重要的 benchmark,直到它的继任者 Fama and French (2015) 五因子模型诞生。在过去的二十五年中,Fama and French (1993) 引领了多因子研究的发展(很多主流因子模型被提出)以及因子背后成因解释的研究(行为金融学的研究结果也在这方面做出了巨大的贡献),后者的意义则更加非凡。


07

结语


让我们来回顾一下本文到目前为止介绍的内容。


本文从 P = E[mx] 讲起,指出价格由折现因子以及未来的支付额的现值决定。从这个式子出发引出资产价格在短期内难以预测。在更长的时间尺度上,variance ratio tests 指出资产短期的波动大大高于长期的波动、价格的波动大大高于基本面的波动。过度波动意味着资产收益率在长期是可以预测的。既然 P 的波动远远大于 x 的波动,因此依据 P = E[mx],随机折现因子 m 必须有很高的波动。在这方面,GMM 的提出让人们能够检验 CCAPM 并把它拒绝了,这也推动了行为金融学的发展,从非理性偏好的角度解释价格的高波动并认为价格可以偏离价值,而噪音交易者模型以及有限套利也为行为金融学的发展铺平了道路。如今,风险和行为偏差成为驱动资产价格变化的两大动力,它们也共同推动了人们关于资产预期收益率截面差异的理解。下图汇总了上述行文的逻辑导图。



写完本文,我有一种七经八络都非常舒爽的感觉。这是因为上面这个从 P = E[mx] 出发、一步步让我们理解资产价格的行文逻辑异常清晰。当然,如此清晰的逻辑完全不是我的功劳。


从行文中多次划重点提及的几个名字中,你大概已经看出了这篇文章主要是围绕 Eugene Fama、Lars Peter Hansen 以及 Robert Shiller 三位对于 empirical asset pricing 的贡献阐述的,而这三位于 2013 年分享了诺贝尔经济学奖。


没错,本文最重要的参考文献正是诺贝尔学术委员会为了介绍三位的研究成果而编纂的科普性文章 —— Understanding Asset Prices(文末有链接)。该文以上述这个无比清晰的逻辑阐述了学术界(特别是这三位)在资产定价方面的研究成果。由于篇幅有限,本文仅根据我自己的理解梳理了我认为最重要的部分,但它完全无法代替 Understanding Asset Prices 这篇雄文,因此建议感兴趣的小伙伴精读之。另外还有一个福音是,网上有一位叫劳佳的大神,把该文翻译成了中文并获授权免费分享(文末也有链接),供各位小伙伴参考。



这个中文版翻译的非常流畅(除少数术语稍微不够准确),可以代替原文的理解。不过值得一提的是,英文版在之后对其中的一些 typo 进行了修改,但由于中文翻译是根据最早的英文版翻译的,因此并没有修正。所以各位读中文版时,如果对某些公式感到困惑(我就卖个关子吧),可参考英文版。


前不久,我看了最近很火的一部电影 —— Free Solo(徒手攀岩),对里面的一段台词印象深刻。它说的是人类的自我挑战中,总要时不时有一个 quantum leap。Eugene Fama、Lars Peter Hansen 以及 Robert Shiller 三位的卓越研究无疑是 asset pricing 领域的 quantum leaps。



参考文献

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