前景理论与股票收益 (I)

石川   2020-01-20 本文章98阅读


Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 使用累积前景理论构建了一个因子。在控制了常见变量后,该因子仍然能够获得显著的风险溢价。


01

引言


行为金融学向来备受争议。


近日,有效市场假说之父 Eugene Fama 在接受 Bloomberg 采访(此处有介绍)的时候再次抛出了他一贯的观点:



There is no behavioral finance. It’s all just a criticism of efficient markets, with no evidence.



一石激起千层浪。面对如此评价,有人当然“坐不住”了。行为经济学的代表人物,Eugene Fama 的同事 Richard Thaler 就站出来发 Twitter,以一贯的 Thaler 式幽默进行了回应,还顺手把 Fama 的老搭档 French 也捎上了(红色桃心暴露了我点了个赞……):



如果“争议”到此就结束了,那我们未免太小看学术圈了。面对 Fama 和 Thaler 的神仙打架,另一位大咖也站出来发声,他就是 q-factor model 的作者之一张橹教授,而这一次张教授挺 Fama。由于 q-factor model 和 Fama-French 五因子模型之间的瓜葛(见《q-factor model 的一段往事》),很难想象会有这样的局面。但正所谓“敌人的敌人就是我的朋友”,对行为金融学的不屑使得张教授这次也站在了 Fama 一边:



In Thaler’s tweet, he claims that Gene [Fama] owes him everything. I think Dick [Thaler] got the chronology exactly backward. Gene founded modern finance with EMH, against which Dick has successfully built his entire career. If anything, Dick owes Gene everything. I, on the other hand, owe much of my career to behavioral finance, whose tremendously important empirical contributions, with little in the way of theory, have left a glaring gulf for a theory-minded economist to fill.



注意上面加粗的最后一句。张教授认为行为金融学虽然有着大量的实证结果,但是却缺乏理论的支撑,从而造成了理论和实际之间的巨大鸿沟,而这个鸿沟则留给传统金融学的学者们(比如他自己)去消除。


好吧。


不管大神们怎么看,这不妨碍我们学习并将行为金融学应用于股票市场。颇有意思的是,一篇 2019 年底挂到 SSRN 上的文章针对美股比较了不同类型的策略,包括利用行为金融学的策略和基于基本面的策略(下图)。该文发现只有利用反应过度和反应不足能够战胜指数本身,并“吊打”其他类策略。



谈到行为金融学里面的众多模型,我个人最喜欢的当属前景理论。而要论将前景理论和股票收益率相结合的研究,代表人物之一非 Nicholas Barberis 莫属。他和他的许多合作者在顶刊上发表了很多论文,研究前景理论能否预测股票收益率的截面差异,读来令人很有启发。因此,我计划不定期的介绍和实证 Barberis 的相关论文,而今天就是第一步,这就是本文题目中 (I) 的含义。


今天要聊的这篇文章是发表在 RFS 上的 Barberis, Mukherjee, and Wang (2016)。该文使用累积前景理论提出了一个因子,它能很好的解释股票预期收益率的截面差异。此外,在控制了传统的风格因子 —— 如 BM、Size、动量、长期反转 —— 和常见的风险类因子 —— 如偏度、异质波动率、流动性风险等 —— 之后,基于前景理论的因子仍然有效。Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 将该因子应用于美股和全球其他 46 个国家(包括 A 股),均发现了类似的现象。


以下第二节首先介绍累积前景理论;第三节解读 Barberis, Mukherjee, and Wang (2016);第四节针对 A 股进行简单实证分析;最后第五节总结。


02

累积前景理论


前景理论(Prospect Theory)由心理学家 Daniel Kahneman 和 Amos Tversky 提出,是一个描述人如何在不确定下做决策的分析框架。前景理论研究的问题是当面对多个选项时,人如何评估不同的选项并选出他认为最优的。在我们的情境中,每支股票就是一个“选项”。而体现不确定性的是,每个选项都有 m ≥ 1 种结果,其中每个结果有一定的实现概率(比如股票收益率会有一个分布),人们需要依据每个选项可能出现的结果来计算该选项的价值,并选出价值最高的。


前文《获得诺奖的行为金融学是怎么一回事?》对前景理论做过系统的介绍,不过它是基于 Kahneman and Tversky (1979) 的版本。这个最早的版本假设了每个选项最多有两个非零结果。令 x 和 y 代表某选项的两个非零结果,p 和 q 分别代表它们发生的概率,则该选项在数学上可以描述为 (x, p; y, q)。


该符号的意思是“以概率 p 获得结果 x,以概率 q 获得结果 y”,且 x 和 y 满足 x ≤ 0 ≤ y 或反过来 y ≤ 0 ≤ x。根据前景理论,人们赋予选项 (x, p ; y, q) 的价值为:



其中 v(.) 表示价值函数,π(.) 表示权重函数。某个选项的价值就是其所有可能出现结果的价值的加权平均,反映了一种“预期”的概念,这也是前景理论中 prospect 一词的由来。对于每个选项,人们按上述公式计算其价值,然后在所有选项中选择价值最高的一个。前景理论的核心就是价值函数和权重函数(下图)。



Kahneman and Tversky (1979) 之所以极具创造性和现实意义是因为二位作者通过大量的心理学实验定性总结了 v(.) 和 π(.) 所具备的性质。具体而言,价值函数有以下三个重要性质:


1. 结果 x —— 即得与失(gains and losses)——是相对一个给定的参考点(reference)而言的,而主观价值 v(x) 是 x 的非线性函数。


2. 价值函数的第二个特点是它反映了人们损失厌恶(loss aversion)。价值函数 v(.) 在 x=0 左、右两侧并不对称,亏损部分的负增长快于收益部分的正增长:v(x) < -v(-x)。实证研究表明,亏损带来的痛苦是收益带来快乐的两倍左右。


3. 无论是获利还是亏损,价值函数均呈现出敏感度递减(diminishing sensitivity)。这意味着,当结果为获利时,价值函数为凹函数;当结果为亏损时,价值函数为凸函数。


前景理论中的第二个关键是权重函数 π(.),它是某结果发生概率 p 的函数,但它不是概率。它是在计算选项价值时,每个结果的权重。Kahneman and Tversky (1979) 指出 π(p) 应满足 π(0) = 0 且 π(1) = 1,但是当 0 < p < 1 时,π(p) 是 p 的非线性函数。上图右侧定性给出了当 0 < p < 1 时 π(p) 的样子。当 p 很小时,π(p) > p,表明对于那些发生概率很低的结果,人们往往高估它们发生的可能性。人们倾向于高估尾部事件发生的概率正是权重函数最重要的性质。


在生活中人们购买彩票和购买保险就是这样的例子。假设一张彩票 5 块钱,而买了彩票后有千分之一的机会得到 5000。人们往往会放大这个千分之一的可能性、从而认为彩票的吸引力很高,尽管彩票的预期收益也是 5 块钱,和成本一样。而在买保险时,假如 5 元保费可以规避一个损失 5000 元、发生概率千分之一的事故。在面对这种情况时,人们往往毫不犹豫选择购买保险,因为他们同样高估了事故发生的概率。


Kahneman and Tversky (1979) 提出的前景理论后来被视作行为金融学发展的重要基石之一。然而,这篇 1979 年的论文也并不完美。第一,它只允许待评估的选项有不超过两个非零的结果;第二,无论是价值函数还是权重函数,该文给出的都是定性、而非定量的结果。为了解决这些不完美,Tversky and Kahneman (1992) 对前景理论进行了改良和扩充,提出了累积前景理论(Cumulative Prospect Theory)。


这里插一小段颇具人情味的故事。由于 Tversky 太天才,他的学术道路发展得顺风顺水,但是 Kahneman 却一度陷入低迷,导致到了后期这老哥俩有些貌合神离。累积前景理论几乎是由 Tversky 一手开创的,但它的发表还是以两人为共同作者。谈到此,Tversky 曾表示,我们两个一起发表了很多论文,如果这篇打破了传统就会显得怪怪的。人生是吧,得一如 Tversky 这样的学术知己足矣。


言归正传。Tversky and Kahneman (1992) 给出了 v(.) 和 π(.) 的解析表达式,且允许待评估的选项有多个结果。假设某个选项有 m 个亏损的结果 x_{-m} < x_{-m-1} < … < x_{-1}、n 个盈利的结果 x_1 < x_2 < … < x_n、以及(不失一般性)一个不赢不亏的结果 x_0 = 0。进一步假设 x_i 发生的概率为 p_i,且 p_i 满足 Σp_i = 1。在累积前景理论下,该选项可以表达为:



该选项的价值为:



对于价值函数,Tversky and Kahneman (1992) 给出的形式为:



由上述定义可知,α ∈ (0,1) 代表了敏感度递减的快慢,而 λ > 1 是损失厌恶系数、越高说明越厌恶损失。下图左侧给出了当 α = 0.5、λ = 2.5 时的价值函数。在实际应用中,Tversky and Kahneman (1992) 根据他们的实验给出的参数取值为 α = 0.88、λ = 2.25。



再来看看累积前景理论中的权重函数。它的定义为:



式中 γ, δ ∈ (0, 1)。在以上定义中,当 i = n 或 -m 时,权重函数分别简化为 π(x_n)=w^+(p_n) 和 π(x_{-m}=w^-(p_{-m}。与前景理论不同,在累积前景理论中,π(x_i) 的取值由累积权重函数 w^+(.) 或 w^-(.) 决定。对于 x_i ≥ 0 的结果,π(x_i) 的计算方法如下:分别计算所有不差于 x_i 的结果的概率之和(即 p_i + … + p_n),和所有严格优于 x_i 的结果的概率之和(即 p_{i+1} + … + p_n),将这两个概率之和代入 w^+(.) 并求它们的差,即 w^+(p_i + … + p_n) - w^+(p_{i+1} + … + p_n),这二者之差就是 π(x_i)。按照类似的方法可以解释 x_i < 0 时 π(x_i) 的计算方法。


w^+(.) 和 w^-(.) 的形式相同,只是分别由参数 γ 和 δ 决定,从而允许人们对于盈利和亏损结果赋予不同的权重。Tversky and Kahneman (1992) 给出的参数取值为 γ = 0.61 和 δ = 0.69。由定义可知:w^+(0) = w^-(0) = 0 且 w^+(1) = w^-(1) = 1。上图右侧给出了不同 δ 取值下权重函数的形状。


累积前景理论中的权重函数延续了早先版本中权重函数的重要特征,即对于小概率结果,其权重要高于结果发生的概率本身。由于累积前景理论允许盈利和亏损两端都有多个结果,这意味着人们会高估结果分布两端的尾部出现的概率。由定义可知,对于极端收益结果 x_n 和极端亏损结果 x_{-m},它们的权重为 w^+(p_n) 和 w^-(p_{-m}。假设 γ = δ = 0.65,并假设 x_n 和 x_{-m} 出现的概率均为 0.01。由公式可知,w^+(p_n) = w^-(p_{-m} = 0.047,因此 w^+(p_n) > p_n 且 w^-(p_{-m} > p_{-m}。关于 π(x_i),第二点需要指出的是,如果一个选项的结果都是盈利(即所有 x_i 均大于零)或都是亏损(即所有 x_i 均小于零),则该选项所有结果的权重函数满足所有 π(x_i) 之和为 1。然而,对于更一般的情况,即某个选项既有盈利结果又有亏损结果时,所有结果的权重之和并不一定等于 1,它可能大于 1 也可能小于 1,但这并不影响累积前景理论的性质或应用。


03

Barberis, Mukherjee, and Wang (2016)


价值函数的三大特征:相对参考点而言、损失厌恶、敏感度递减,以及权重函数的重要特征:人们高估尾部事件发生概率,这四点构成了前景理论的核心内容。Barberis 教授指出,要想利用前景理论分析股票收益率,那么应该尽可能的考虑上述全部要素。


为了应用累积前景理论解释股票收益率,有两个问题需要解决:


1. 预测股票未来的收益率分布,并以此作为该选项(每个股票就是一个选项)结果的分布;


2. 将选项结果分布代入累积前景理论的价值和权重函数,计算其价值,并研究股票的前景理论价值与未来收益率之间的关系。


关于第一点,预测未来收益率基本上是 mission impossible。Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 指出,普通投资者会使用股票过去五年的历史月收益率(即 60 个样本点)分布作为替代物。在这样的设定下,Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 将股票过去 60 个月的月频收益率按从小到大排列,记为 r_{-m}, r_{-m+1}, …, r_{n-1}, r_{n},并假设每个结果发生的概率是 1/60。使用累积前景理论的数学符号,每个股票的结果分布可以表达为:



将其代入前景理论的价值和权重函数就得到每支股票的 TK 价值:



在实证中,Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 使用了 Tversky and Kahneman (1992) 原文中的参数,即 α = 0.88,λ = 2.25,γ = 0.61,δ = 0.69。这样的好处是可以避免 data snooping,因为这些参数是根据近 30 年前的实验总结的,而当初的实验和股票收益率预测没什么关系。


对于第二点,我们先从直观上梳理一下:面对形形色色的股票,以它们的历史收益率为输入,投资者通过累计前景理论可以得到每支股票的价值(下称 TK 价值;TK 是 Tversky 和 Kahneman 的首字母)。由于 TK 价值高的股票更具吸引力,因此投资者会扎堆买入 TK 价值高的、扎堆卖出 TK 价值低的股票,造成前者被超买而后者被超卖,因此股票未来的预期收益率和当前的 TK 价值呈负相关。


为了验证这个猜测,Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 提出了一个简单的数学模型 —— 市场中分为按 mean-variance 最优化购买股票的人和按 TK 价值购买股票的人,并推导出在均衡状态下,股票预期收益率和 TK 价值确实呈现负相关。


下面就来看看 Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 针对美股的实证结果。


首先,下表展示了 TK 价值和其他常见因子的均值以及相关系数。在这张表中,我最关心的是 TK 和 Lt rev(长期反转)的相关性。这二者之间的相关系数高达 0.56。之所以关心 Lt rev,是因为 TK 是根据过去五年的历史收益率计算的,而显然历史收益率越高,TK 值就越高。而 Lt rev 也是如此。此外,美股上确实存在长期反转现象,即过去 3 到 5 年的收益率和未来呈现负相关。因此,我们自然关心在控制了 Lt rev 之后,TK 是否仍然可以获得显著的超额收益。



为检验 TK 因子,Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 首先进行了常规的 portfolio sort test。下表给出了结果。无论是相对无风险的超额收益,还是相对一些多因子模型的超额收益 α,TK 因子 —— 由于猜想是 TK 因子和未来收益率呈现负相关,因此 TK 因子是 Low – High —— 均表现出了显著的收益率。



再来是 Fama and MacBeth (1973) Regression。它可以控制其他解释变量,考察 TK 因子能否获得显著超额收益。FM regression 由于是用当期因子值和下期收益率回归,因此下表中 TK 因子的 risk premium 为负证实了 Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 的猜想,即 TK 值和未来收益率呈现负相关。此外,在控制了常见的因子之后,TK 因子依然显著(唯一例外是第 7 组实验,显著性水平是 5.5%)。对于我个人关注的问题,在控制了 Lt rev 之后,TK 的显著性没有受到影响。



Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 一文另外一个非常具有想象力的实证结果是分析了前景理论中的哪个性质对 TK 与股票收益率的负相关贡献最大。前面我们提到,前景理论的几个重要性质包括损失厌恶、敏感度递减以及高估尾部。这些性质通过价值和权重函数的形状表现出来。


最关键的来了:我们可以通过改变价值和权重函数的参数,让上述性质中的一个或多个消失,从而仅考虑保留下的性质和股票预期收益率的关系,以此来研究前景理论中哪个或哪些性质对于预测未来收益率是最重要的。


以 LA,CC 和 PW 分别代表损失厌恶、敏感度递减以及高估尾部三个性质,Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 对上述问题的研究结果如下表所示。举例来说,表中 LACC 代表了因子包含损失厌恶和敏感度递减两个性质,但不包括高估尾部,以此类推;TK 是原始的 TK 因子。



结果显示,在这些性质中,发挥核心作用的是 PW 代表的权重函数的性质,即投资者高估尾部事件发生的概率。当 PW 性质被从前景理论中“去掉”时,剩下的 LA 和 CC 以及它们的组合均无法获得显著的收益。


这样的结果,从不同 TK 取值的分组 portfolios 的公司特征可以看到一些端倪。以 Skew 为例,从下表可以观察到,随着 TK 值从最低档到最高档,每组中股票平均的 Skew 也在上升,特别是在第 9 组到 High TK 组发生的跳变。由于右偏的股票具有彩票收益特征,因此它们对于按 TK 值交易的投资者无疑是非常有吸引力的。这一现象能够帮助我们理解为什么高估尾部权重这个性质在预测未来收益率时发挥了重要作用。



除上述检验和分析外,Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 还进行了大量的稳健性分析。出于篇幅考虑,本文就不逐一介绍了。感兴趣的小伙伴不妨阅读这篇论文。


04

A 股市场的简单实证


本节按照 Barberis, Mukherjee, and Wang (2016) 的思路针对 A 股进行简单实证。特别感谢 [Chihiro Quantitative Research] 的刀疤连对实证分析的支持!


实证期从 1998 年 9 月 30 日至 2019 年 9 月 30 日。每月末,使用过去 36 个月的收益率数据计算 TK 值(因此数据实际上是从 1995 年开始)。之所以选择三年而非五年是因为 A 股市场受政策影响较大。太长的历史时间窗口内收益率的时间序列难以满足平稳性。


此外由于停牌造成的影响,实证中做了如下处理。如果一支股票在某个月内有超过 2/3 的交易日停牌,则认为该月的收益率为空;如果一个支股票在 36 个月的计算窗口内有低于 24 个有效月收益率数据,则在当期计算 TK 值时将其剔除在外。最后,如果某支股票的实际有效月频收益率样本数小于 36,则按实际有效月频收益率个数 T 计算每个结果的概率,即 1/T 而非 1/36。


由于是简单实证,因此本文仅使用 portfolio sort test。每月末将股票按 TK 值从低到高排序分成 10 组,并通过做多 Low 组同时做空 High 组构建 TK 因子。实证中同时考虑等权和市值加权。结果如下。



上述简单的实证结果显示,在等权下 TK 因子十分显著,然而在市值加权下,TK 因子就没有什么作为了。毫无疑问,这表明小市值对 TK 因子有一定影响。为进一步考察 Size 的影响,我们也通过 dependent double sorting 对市值进行了控制 —— 即首先按市值分组,再把每个市值组内的股票按 TK 值分组。在这种检验下依然能观察到 TK 因子的作用。


关于 TK 因子的更多 insights,需要更充分、详实的实证来支撑。这些超出本文的目标,搞事情小组会在今后某期文章中对 TK 因子进行完整的分析。


05

结语


Barberis (2018) 一文曾对行为金融学如何影响股票的价格和交易量进行了系统的总结(见《资产价格和交易量背后的行为金融学》),而前景理论无疑是行为金融学中的一块重要的 building block。


在一篇最新出炉的文章中,Barberis, Jin, and Wang (2019) 更是将前景理论和股票收益率的研究带上了一个新的台阶。该文考虑了一个动态模型,在前述前景理论重要性质的基础上,将投资者的 prior gain or loss 引入了模型,一举尝试解释了美股市场中最常见的 22 个异象。该模型很好的解释了其中 13 个异象 —— 不仅仅解释了首尾两组的 spread return,而且对一些异象甚至很好的解释了中间组收益率的单调性!


没错,你大概猜到了,未来《前景理论和股票收益 (II)》就将要介绍 Barberis, Jin, and Wang (2019)。但由于这篇文章的模型太复杂,必要的铺垫是十分必要的,因此就有了本文。


诚然,面对股票收益率背后的驱动,即因子的逻辑,风险解释远比行为金融学支持的 mispricing 更令人信服。但是,越来越多的实证结果表明,真正能在样本外获得超额收益的因子或策略或多或少都和行为金融学有关。它理应被认真对待。


在对行为金融学的看法上,我站 Thaler、Barberis 等人。



参考文献

Barberis, N. (2018). Psychology-based models of asset prices and trading volume. Working paper, Yale School of Management.


Barberis, N., A. Mukherjee, and B. Wang (2016). Prospect theory and stock returns: An empirical test. Review of Financial Studies, Vol. 29(11), 3068 – 3107.


Barberis, N., L. Jin, and B. Wang (2019). Prospect theory and stock market anomalies. Available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=3477463.


Fama, E. F. and J. D. MacBeth (1973). Risk, return, and equilibrium: empirical tests. Journal of Political Economy, Vol. 81(3), 607 – 636.


Kahneman, D. and A. Tversky (1979). Prospect Theory: an analysis of decision under risk. Econometrica, Vol. 47(2), 263 – 292.


Newey, W. K. and K. D. West (1987). A simple, positive semi-definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix. Econometrica, Vol. 55(3), 703 – 708.


Tversky, A. and D. Kahneman (1992). Advances in prospect theory: cumulative representation of uncertainty. Journal of Risk and Uncertainty, Vol. 5(4), 297 – 323.



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